Homeomorfisme

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dari Homeomorfisma)
Jump to navigation Jump to search
Sebuah deformasi kontinu antara cangkir kopi dan donat (torus) menggambarkan bagaimana keduanya saling homeomorfik.

Dalam  cabang matematika bidang topologi, homeomorfisme atau isomorfisme topologi atau fungsi dwikontinu atau dwimalar adalah fungsi kontinu antara ruang topologi yang memiliki fungsi invers yang juga kontinu. Homeomorfisme adalah isomorfisme dalam kategori ruang topologi. Dua ruang topologi dengan sebuah homeomorfisme antara keduanya disebut homeomorfik. Kata homeomorfisme berasal dari kata-kata bahasa yunani ὅμοιος (homoios) = mirip atau sama dan μορφή (morphē) = bentuk, bentuk, diperkenalkan di dalam matematika oleh Henri Poincaré pada tahun 1895.[1][2]

Secara kasar, sebuah ruang topologi adalah obyek geometri, dengan homeomorfisme-nya adalah tekukan dan regangan secara malar ke bentuk yang baru. Sehingga, persegi dan lingkaran merupakan homeomorfik satu sama lain, tapi tidak dengan kulit bola dan torus. Namun, deskripsi ini dapat menjerumuskan. Beberapa deformasi malar bukanlah sebuah homeomorfisme, misalnya pengkerutan garis menjadi titik. Beberapa homeomorfisme bukanlah deformasi malar, misalkan homeomorfisme antara simpul trefoil dan lingkaran.

Salah satu lelucon matematika yang sering diulang-ulang adalah seorang topologis tidak bisa membedakan antara cangkir kopi dan donat,[3] dikarenakan donat yang cukup lunak dapat dibentuk menjadi cangkir kopi dengan membuat sebuah cekungan yang kemudian dibesarkan sembari menjaga tetap ukuran lubang donat sebagai gagang cangkir.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Sebuah fungsi antara dua ruang topologi  dan disebut homeomorfisme jika memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

Fungsi dengan tiga sifat ini disebut juga dwikontinu. Jika terdapat fungsi dengan sifat-sifat tersebut, kita katakan dan adalah homeomorfik. Sebuah swahomeomorfisme atau otohomeomorfisme merupakan homeomorfisme dari sebuah ruang topologi ke dirinya sendiri. Homeomorfisme membentuk sebuah hubungan kesetaraan dalam sebuah kelas atau keluarga ruang topologi. Kelas kesetaraan ini disebut kelas homeomorfisme.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Sebuah simpul trefoil homeomorfik dengan torus, tapi tidak isotopik (setara secara homotopi) di R3. Pemetaan kontinu tidak selalu bisa direalisasikan sebagai deformasi. Simpul ditebalkan untuk membuat gambar mudah dipahami.
  • Interval terbuka  homeomorfik dengan garis bilangan riil . (dalam kasus ini salah satu pemetaan bikontinu diberikan oleh  dimana pemetaan lain bisa juga diberikan oleh fungsi tan or arg tanh yang telah dibesar-kecilkan dan digeser).
  • Cakram satuan  dan persegi satuan (persegi dengan panjang sisi 1 dan isinya) di R2 saling homeomorfik; karena cakram dan persegi bisa dideformasi satu sama lain. Salah satu contoh pemetaan dwikontinu dari persegi ke cakram diberikan oleh, dalam koordinat polar, .
  • Kurva dari fungsi yang dapat diturunkan homeomorfik dengan domain fungsi itu sendiri.
  • Sebuah parametrisasi dari kurva merupakan homeomorfisme antara domain parametrisasi dan kurva tersebut.
  • Sebuah peta dari sebuah manifold adalah homeomorfisme antara himpunan terbuka dari manifold dengan sebuah himpunan terbuka dari ruang Euklides.
  • Proyeksi stereografik merupakan homeomorfisme antara kulit bola di R3 dengan salah satu titiknya dihilangkan, dengan seluruh titik di R2.
  • Jika  adalah sebuah grup topologis, peta inversinya  merupakan sebuah homeomorfisme. Juga, untuk sembarang , pergeseran kiri , pergeseran kanan , dan otomorfisme dalamnya (transformasi konjugat)  merupakan homeomorfisme.

Contoh Bukan[sunting | sunting sumber]

  • Rm dan Rn tidak homeomorfik untuk mn.
  • Garis bilangan riil tidak homeomorfik dengan lingkaran jika keduanya dianggap sebagai subruang dari R2, karena lingkaran bersifat kompak dalam topologi biasa R2 tapi tidak dengan garis bilangan riil.

Catatan[sunting | sunting sumber]

Syarat ketiga, yaitu  supaya kontinu, sangat penting. Misalkan sebuah fungsi  (lingkaran dalam ) yang didefinisikan sebagai. Fungsi ini bijektif dan kontinu, tapi bukan merupakan sebuah homeomorfisme ( bersifat kompak tetapi  tidak kompak). Fungsi  tidak kontinu pada titik, dikarenakan meskipun  memetakan  ke , seluruh tetangga dari titik ini juga mengandung titik-titik yang oleh fungsi invers ini dipetakan dekat dengan , tapi titik-titik tersebut berada di luar tetangga .[4]

Homeomorfisme adalah isomorfisme dalam kategori ruang topologi. Dengan demikian, komposisi dari dua homeomorfisme juga merupakan homeomorfisme, dan himpunan dari semua swahomeomorfisme  membentuk sebuah grup, yang disebut grup homeomorfisme dari X, yang sering dilambangkan . Grup ini dapat diberikan topologi, seperti topologi kompak-terbuka, dimana dengan asumsi-asumsi tertentu dapat membuatnya menjadi grup topologis.[5]

Untuk beberapa tujuan, grup homeomorfisme mungkin terlalu besar, tapi dengan hubungan isotopi, kita bisa mengurangi grup ini menjadi grup kelas pemetaan.

Seperti biasanya dalam teori kategori, jika diberikan dua ruang yang saling homeomorfik, ruang homeomorfisme antara keduanya, adalah sebuah torsor untuk grup homeomorfisme  dan dan, dengan menentukan sebuah homeomorfisme antara dan ketiga himpunan dapat diidentifikasi.

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

  • Dua ruang yang homeomorfik juga memiliki sifat-sifat topologi yang sama. Misalkan, jika salah satu dari mereka kompak, maka yang lainnya juga kompak; jika salah satunya terhubung, maka yang lainnya juga terhubung; jika salah satunya Hausdorff, maka yang lainnya juga; grup homotopi dan homologi antara keduanya juga akan sama. Yang perlu dicatat adalah kesetaraan ini tidak diturunkan ke sifat yang didefinisikan melalui metrik; terdapat ruang-ruang metrik yang saling homeomorfik padahal salah satu dari mereka lengkap dan yang lainnya tidak.
  • Sebuah homeomorfisme adalah pemetaan terbuka dan sekaligus pemetaan tertutup; yaitu, ia memetakan ruang terbuka ke ruang terbuka dan ruang tertutup ke ruang tertutup.
  • Setiap swahomeomorfisme dalam lingkaran dapat diperluas menjadi sebuah swahomeomorfisme di dalam cakram (trik Alexander). Secara umum setiap swahomeomorfisme dalam kulit bola bisa diperluas menjadi sebuah swahomeomorfisme dalam bola pejal atau cakram .

Diskusi Informal[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ http://serge.mehl.free.fr/anx/ana_situs.html
  2. ^ Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). Introduction to Topology. Courier. hlm. 67. 
  3. ^ Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. hlm. 204. ISBN 978-0-387-94377-0. 
  4. ^ Väisälä, Jussi: Topologia I, Limes RY 1999, p. 63. ISBN 951-745-184-9.
  5. ^ Dijkstra, Jan J. (1 December 2005). "On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology" (PDF). The American Mathematical Monthly. 112 (10): 910. doi:10.2307/30037630.