Himpunan saling lepas

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Dua himpunan terpisah.

Dalam matematika, dua himpunan dikatakan saling lepas (atau saling pisah atau saling asing) jika keduanya tidak memiliki anggota persekutuan. Sebuah keluarga himpunan adalah saling terlepas pasang demi pasang jika setiap dua himpunan berbeda dalam keluarga tersebut adalah terlepas.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Dua himpunan dan dikatan saling lepas, apabila irisannya adalah himpunan kosong.[1], yaitu:

.

Misalnya, {1, 2, 3} dan {4, 5, 6} adalah himpunan-himpunan yang lepas, sedangkan {1, 2, 3} dan {3, 4, 5} tidak.

Perumuman[sunting | sunting sumber]

Keluarga himpunan yang saling terpisah

Definisi ini dapat diperluas untuk keluarga himpunan.

Suatu keluarga himpunan berindeks adalah suatu keluarga himpunan saling lepas, apabila anggotanya saling lepas pasang demi pasang, yaitu setiap dua himpunan berbeda dalam keluarga tersebut saling lepas:

untuk dan .

Dua himpunan dikatan hampir terlepas jika irisan keduanya memiliki ukuran yang "kecil" dalam pengertian tertentu. Misalnya, dua himpunan tak berhingga dikatakan hampir terlepas jika irisan keduanya merupakan himpunan berhingga.[2]

Dalam topologi, terdapat berbagai gagasan untuk himpunan terpisah dengan persyaratan yang lebih ketat dari keterlepasan. Misalkan, dua himpunan dapat dianggap terpisah jika keduanya memiliki penutupan atau ketetanggaan yang terlepas. Demikian pula, dalam sebuah ruang metrik, himpunan terpisah positif adalah himpunan yang terpisah dengan jarak bukan nol.[3]

Irisan[sunting | sunting sumber]

Keterlepasan dari dua himpunan, atau dari sebuah keluarga himpunan, dapat dinyatakan dalam irisannya

Dua himpunan A dan B dikatan terlepas jika dan hanya jika irisan keduanya adalah himpunan kosong. Dari sini dapat ditarik kesimpulan bahwa setiap himpunan terlepas dari himpunan kosong, dan hanya himpunan kosong yang terlepas dari dirinya sendiri.[4]

Sebuah keluarga himpunan F dikatakan saling terlepas jika, untuk setiap dua himpunan di dalam keluarga, irisannya adalah kosong. Jika keluarga tersebut memuat lebih dari satu himpunan, hal ini berimplikasi bahwa irisan dari seluruh anggota keluarga ini adalah kosong. Namun, untuk sebuah keluarga dengan satu himpunan, keluarga tersebut juga disebut saling terlepas, baik apakah himpunan tersebut kosong, dan boleh memiliki irisan yang tak kosong. Selain itu, sebuah keluarga himpunan dapat memiliki irisan seluruh anggotanya adalah kosong tetapi tidak saling terlepas.[5] Misalnya, keluarga tiga himpunan { {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} memiliki persimpangan kosong tapi tidak saling terlepas. Keluarga himpunan yang kosong (keluarga tanpa himpunan anggota) adalah saling terlepas.[6]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Halmos, P. R. (1960), Naive Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, hlm. 15, ISBN 9780387900926  More than one of |author-link=, |author-link=, dan |authorlink= specified (bantuan); More than one of |ISBN= dan |isbn= specified (bantuan) .
  2. ^ Halbeisen, Lorenz J. (2011), Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing, Springer monographs in mathematics, Springer, hlm. 184, ISBN 9781447121732  More than one of |ISBN= dan |isbn= specified (bantuan) .
  3. ^ Copson, Edward Thomas (1988), Metric Spaces, Cambridge Tracts in Mathematics, 57, Cambridge University Press, hlm. 62, ISBN 9780521357326  More than one of |ISBN= dan |isbn= specified (bantuan) .
  4. ^ Oberste-Vorth, Ralph W.; Mouzakitis, Aristides; Lawrence, Bonita A. (2012), Bridge to Abstract Mathematics, MAA textbooks, Mathematical Association of America, hlm. 59, ISBN 9780883857793  More than one of |ISBN= dan |isbn= specified (bantuan) .
  5. ^ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2010), A Transition to Advanced Mathematics, Cengage Learning, hlm. 95, ISBN 978-0-495-56202-3  More than one of |ISBN= dan |isbn= specified (bantuan) .
  6. ^ See answers to the question ″Is the empty family of sets pairwise disjoint?″