Grup berpenyelesaian

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, lebih khusus lagi di medan teori grup, grup berpenyelesaian (Inggris: Solvable group) adalah grup yang dapat dibangun dari grup Abel menggunakan perluasan. Dengan kata lain, grup berpenyelesaian adalah grup yang deret jabaran berakhir di subgrup trivial.

Motivasi[sunting | sunting sumber]

Secara historis, kata "berpenyelesaian" muncul dari teori Galois dan bukti dari ketidakmampuan umum persamaan kuintik. Secara spesifik, persamaan polinomial dapat diselesaikan dalam radikal jika dan hanya jika grup Galois yang sesuai berpenyelesaian[1] (perhatikan teorema ini hanya berlaku dalam karakteristik 0). Ini berarti terkait dengan polinomial jika menara perluasan lapangan

sehingga

  1. dimana , jadi adalah penyelesaian persamaan dimana
  2. berisi medan pemisahan untuk

Contoh[sunting | sunting sumber]

Misalnya, perluasan medan Galois terkecil dari mengandung elemen

memberikan grup berpenyelesaian. Ini memiliki perluasan medan terkait

memberikan grup berpenyelesaian merumuskan (bertindak pada ) dan (bertindak pada ).

Definisi[sunting | sunting sumber]

Grup disebut berpenyelesaian jika memiliki deret subnormal yang grup faktor (grup hasil bagi) semuanya grup Abel, yaitu, jika ada subgrup , maka adalah subgrup normal di , dan adalah grup Abel, karena .

Atau setara, jika deret jabaran, deret normal menurun

,

di mana setiap subgrup adalah subgrup komutator dari yang sebelumnya, akhirnya mencapai subgrup trivial dari . Kedua definisi ini setara, karena untuk setiap grup dan setiap subgrup normal dari , hasil bagi adalah grup Abel jika dan hanya jika termasuk subgrup komutator dari . Nilai terkecil sehingga disebut panjang jabaran dari grup berpenyelesaian .

Untuk grup berhingga, definisi ekuivalennya adalah bahwa grup berpenyelesaian adalah grup dengan deret komposisi yang semua faktornya adalah grup siklik dari urutan bilangan prima. Ini setara karena grup berhingga memiliki panjang komposisi berhingga, dan setiap grup Abel sederhana adalah siklik orde utama. Teorema Jordan–Hölder menjamin bahwa jika salah satu deret komposisi memiliki sifat ini, semua deret komposisi akan memiliki sifat ini juga. Untuk grup Galois dari polinomial, grup siklik ini berpadanan dengan akar (radikal) di beberapa medan. Kesetaraan tidak selalu: sebagai contoh, karena setiap subgrup taktrivial dari grup dari bilangan bulat di bawah penambahan adalah isomorfis pada , tidak memiliki deret komposisi, tetapi deret normal , dengan satu-satunya grup faktor isomorfik hingga , membuktikan bahwa ia berpenyelesaian.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Grup Abel[sunting | sunting sumber]

Contoh dasar grup berpenyelesaian adalah grup Abel. Mereka berpenyelesaian secara trivial karena rangkaian subnormal diberikan hanya oleh grup itu sendiri dan grup trivial. Tetapi grup takAbel mungkin atau mungkin tidak bisa dipecahkan.

Grup nilpoten[sunting | sunting sumber]

Secara umum, semua grup nilpoten berpenyelesaian. Secara khusus, grup-p hingga berpenyelesaian, karena semua grup-p hingga adalah nilpoten.

Grup kuaternion[sunting | sunting sumber]

Secara khusus, grup kuaternion adalah grup berpenyelesaian yang diberikan oleh perluasan grup

dimana adalah subgrup yang dihasilkan oleh .

Perluasan grup[sunting | sunting sumber]

Perluasan grup merupakan contoh prototip dari grup berpenyelesaian. Artinya, jika dan adalah grup berpenyelesaian, maka suatu perluasan

mendefinisikan grup berpenyelesaian . Faktanya, semua grup berpenyelesaian dapat dibentuk dari perluasan grup tersebut.

Grup takAbel yang taknilpoten[sunting | sunting sumber]

Contoh kecil dari grup taknilpoten berpenyelesaian adalah grup simetrik . Faktanya, karena grup takAbel sederhana terkecil adalah , (grup selang-seling dengan derajat 5) mengikuti bahwa setiap grup dengan urutan lebih kecil dari 60 adalah berpenyelesaian.

Grup hingga dari urutan ganjil[sunting | sunting sumber]

Teorema Feit–Thompson yang terkenal menyatakan bahwa setiap grup berhingga dari urutan ganjil adalah berpenyelesaian. Secara khusus ini menyiratkan bahwa jika grup hingga adalah grup sederhana, itu adalah grup siklik.

Bukan contoh[sunting | sunting sumber]

Grup takberpenyelesaian, ia memiliki deret komposisi (dan Teorema Jordan–Hölder menyatakan bahwa setiap deret komposisi setara dengan yang satu itu), memberikan grup faktor isomorfik pada dan ; dan bukan Abel. Menggeneralisasi argumen ini, ditambah dengan fakta bahwa adalah subgrup normal, maksimal, sederhana takAbel dari , tidak berpenyelesaian untuk . Ini adalah langkah kunci dalam pembuktian bahwa untuk setiap ada polinomial derajat yang takberpenyelesaian oleh radikal (Teorema Abel–Ruffini). Sifat ini juga digunakan dalam teori kompleksitas dalam pembuktian teorema Barrington.

Subgrup [sunting | sunting sumber]

Andaikan subgrup

pada

untuk suatu medan . Maka, hasil bagi grup dapat ditemukan dengan mengambil sembarang elemen di , mengalikannya, dan mencari tahu struktur apa yang diberikannya. Jadi

Perhatikan syarat determinan pada menyiratkan , karenanya adalah subgrup (yang merupakan matriks di mana ). Untuk yang ditetapkan, persamaan linear menyiratkan , yang merupakan elemen sembarang pada ketika . Karena kita dapat mengambil matriks pada dan mengalikannya dengan matriks

dengan , kita bisa mendapatkan matriks diagonal pada . Ini menunjukkan grup hasil bagi .

Kata[sunting | sunting sumber]

Perhatikan bahwa deskripsi ini memberikan penguraian sebagai dimana bertindak pada oleh . Ini menyiratkan . Juga, matriks dari bentuk

berpadanan dengan elemen dalam grup.

Subgrup Borel[sunting | sunting sumber]

Untuk grup aljabar linear subgrup Borel didefinisikan sebagai subgrup yang tertutup, terhubung, dan berpenyelesaian di , dan ini adalah subgrup yang paling mungkin dengan sifat ini (perhatikan dua yang kedua adalah sifat topologi). Misalnya, dalam dan , grup matriks segitiga atas, atau segitiga bawah adalah dua subgrup Borel. Contoh yang diberikan di atas, subgrup di adalah subgrup Borel.

Subgrup Borel pada [sunting | sunting sumber]

Pada terdapat subgrup

Perhatikan bahwa , maka grup Borel memiliki bentuk

Subgrup Borel hasil perkalian grup aljabar linear sederhana[sunting | sunting sumber]

Dalam grup hasilkali subgrup Borel dapat diwakili oleh matriks dalam bentuk

dimana adalah matriks segitiga atas dan adalah matriks segitiga atas .

Grup-Z[sunting | sunting sumber]

Setiap grup hingga yang subgrup Sylow-p merupakan sikliknya, adalah produk setengah langsung dari dua grup siklik, khususnya grup berpenyelesaian. Grup tersebut disebut grup-Z.

Nilai OEIS[sunting | sunting sumber]

Jumlah grup berpenyelesaian dengan urutan adalah (dimulai dengan )

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... (barisan A201733 pada OEIS)

Urutan grup takberpenyelesaian adalah

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (barisan A056866 pada OEIS)

Sifat[sunting | sunting sumber]

Solvabilitas tertutup terhadap sejumlah operasi.

  • Jika berpenyelesaian, dan adalah subgrup dari , maka adalah berpenyelesaian.[2]
  • Jika berpenyelesaian, dan terdapat homomorfisme dari pada , maka adalah berpenyelesaian; setara (dengan teorema isomorfisme pertama), jika berpenyelesaian, dan adalah subgrup normal dari , maka berpenyelesaian.[3]
  • Sifat sebelumnya dapat diperluas menjadi sifat "tiga untuk harga dua" berikut: dapat diselesaikan jika dan hanya jika dan keduanya berpenyelesaian.
  • Secara khusus, jika dan berpenyelesaian, hasilkali langsung berpenyelesaian.

Solvabilitas tertutup terhadap perluasan grup:

  • Jika dan berpenyelesaian, maka begitu juga dengan ; secara khusus, jika dan berpenyelesaian, produk setengah langsung mereka juga berpenyelesaian.

Itu juga ditutup di bawah produk karangan bunga:

  • Jika dan berpenyelesaian, dan adalah himpunan , maka hasilkali karangan bunga dari dan terhadap juga berpenyelesaian.

Untuk suatu bilangan bulat positif , grup berpenyelesaian dari panjang jabaran paling banyak membentuk subvarietas dari berbagai grup, karena mereka tertutup terhadap pengambilan citra homomorfik, subaljabar, dan hasil kali (langsung). Hasil kali langsung dari urutan grup berpenyelesaian dengan panjang jabaran tak terbatas tidak berpenyelesaian, sehingga kelas semua grup berpenyelesaian bukanlah suatu varietas.

Teorema Burnside[sunting | sunting sumber]

Teorema Burnside menyatakan bahwa jika adalah grup hingga dari urutan di mana dan adalah bilangan prima, dan dan adalah bilangan bulat taknegatif, maka adalah berpenyelesaian.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Milne. Field Theory (PDF). hlm. 45. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-04-09. Diakses tanggal 2020-12-17. 
  2. ^ Rotman (1995), Theorem 5.15, hlm. 102, di Google Books
  3. ^ Rotman (1995), Theorem 5.16, hlm. 102, di Google Books

Referensi[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]