Gelanggang bilangan bulat

Di matematika, gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan aljabar $K$ adalah gelanggang dari seluruh bilangan bulat aljabar yang terdiri dalam $K$ .^[1] Sebuah bilangan bulat aljabar adalah akar dari polinomial monik dengan koefisien bilangan bulat: $x n + c n -1 x n -1 + \dots + c 0$ .^[2] Gelanggang ini sering dituliskan sebagai $O K$ atau $O K$ . Karena setiap bilangan bulat termasuk dalam $K$ dan adalah elemen integral dari $K$ , gelanggang $Z$ selalu adalah subgelanggang dari $O K$ .

Gelanggang bilangan bulat $Z$ adalah gelanggang bilangan bulat paling sederhana.^[a] Yaitu, $Z = O Q$ , dengan $Q$ adalah lapangan dari bilangan rasional.^[3] Dan benar, pada teori bilangan aljabar, elemen $Z$ sering disebut sebagai "bilangan bulat rasional" karena ini.

Contoh paling sederhana lainnya dari gelanggang ini adalah bilangan bulat Gauss $Z [i]$ , yang terdiri dari bilangan kompleks yang bagian riil dan imajinernya adalah bilangan bulat. Ini adalah gelanggang bilangan bulat pada bidang bilangan $Q (i)$ dari rasional Gauss, yang berisi bilangan kompleks yang bagian riil dan imajinernya adalah bilangan rasional. Seperti bilangan bulat rasional, $Z [i]$ adalah domain Euclide.

Gelanggang bilangan bulat dari lapangan bilangan aljabar adalah orde maksimal unik dari lapangan tersebut. Hal ini selalu adalah domain Dedekind.^[4]

Properti

Gelanggang bilangan bulat $O K$ adalah modul $Z$ terbangkit terhingga [en]. Benar, itu adalah modul bebas $Z$ dan maka adalah basis integral, yaitu basis $b 1, \dots, b n \in O K$ dari $K$ ruang vektor $Q$ yang setiap element $x$ pada $O K$ dapat direpresentasikan secara unik sebagai:

x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},

dengan $a i \in Z$ .^[5] Peringkat $n$ dari $O K$ sebagai modul bebas $Z$ bernilai sama dengan derajat [en] dari $K$ terhadap $Q$ .

Contoh

Perkakas perhitungan

Perkakas yang membantu dalam perhitungan penutupan integral gelanggang bilangan bulat pada lapangan aljabar $K / Q$ adalah diskriminan. Jika $K$ adalah derajat $n$ terhadap $Q$ , dan $α 1, \dots, α n \in O K$ membentuk basis dari $K$ terhadap $Q$ , himpunan $d = Δ K / Q (α 1, \dots, α n)$ . Maka, $O K$ adalah submodul dari modul $Z$ yang terbentang pada $α 1 / d, \dots, α n / d$ .^[6]^:33 Bahkan, jika $d$ adalah kuadrat bebas, maka $α 1, \dots, α n$ membentuk basis integral untuk $O K$ .^[6]^:35

Perpanjangan siklotomik

Jika $p$ adalah prima, $ζ$ adalah akar satuan ke- $p$ dan $K = Q (ζ$ } adalah lapangan siklotomik [en] yang sesuai, maka basis integral dari diberikan sebagai $(1, ζ, ζ 2, \dots, ζ p -2)$ .^[7]

Perpanjangan kuadrat

Jika $d$ adalah bilangan bulat bebas kuadrat dan $K = Q (\sqrt d)$ adalah lapangan kuadrat yang sesuai, maka $O K$ adalah gelanggang dari bilangan bulat kuadrat dan basis integralnya bernilai $(1, (1 + \sqrt d) /2)$ jika $d \equiv 1 (mod 4)$ dan $(1, \sqrt d)$ jika $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ .^[8] Hal ini dapat dilihat dengan menghitung polinomial minimal dari elemen $a + b \sqrt d \in Q (\sqrt d)$ apa pun, dengan $a, b \in Q$ .

Struktur multiplikatif

Pada gelanggang bilangan bulat, setiap elemen memiliki faktorisasi pada elemen taktereduksi, tapi gelanggang tersebut tidak harus memiliki properti Teorema dasar aritmetika|faktorisasi unik]]. Contoh, pada gelanggang bilangan bulat $Z [\sqrt -5]$ , elemen 6 memiliki dua faktorisasi yang pada dasarnya berbeda pada elemen taktereduksi:^[4]^[9]

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).

Sebuah gelanggang bilangan bulan selalu merupakan domain Dedekind, dan maka, memiliki faktorisasi ideal unik pada prima ideal.^[10]

[[Unit (teori gelanggang)|Unit dari gelanggang bilangan bulat $O K$ adalah grup abelian yang dihasilkan tak hingga oleh teorema unit Dirichlet. Subgrup torsi bersisi akar satuan dari $K$ . Satu himpunan penghasil bebas torsi disebut sebagai himpunan unit fundamental.^[11]

Generalisasi

Gelanggang bilangan bulat dapat didefinisikan sebagai lapangan lokal tak-archimedes $F$ sebagai himpunan dari seluruh elemen $F$ dengan nilai mutlak $\leq 1$ . Ini adalah gelanggang karena pertidaksamaan segitiga yang kuat.^[12] Jika $F$ adalah penyelesaian dari lapangan bilangan aljabar, gelanggang bilangan bulatnya adalah penyelesaian dari gelanggang bilangan bulat yang terakhir. Gelanggang bilangan bulat dari lapangan bilangan aljabar dapat juga dikarakterisasi sebagai elemen dengan bilangan bulat pada setiap penyelesaian tak-archimedes.^[3]

Misalnya, bilangan bulat $p$ -adic $Z p$ adalah gelanggang bilangan bulat bilangan $p$ -adic $Q p$ .

Catatan kaki

'^ Gelanggang bilangan bulat, tanpa menentukan bidang apa pun, merujuk pada gelanggang $Z$ dari bilangan bulat "biasa", objek prototipe untuk seluruh gelanggang tersebut. Ini adalah konsekuensi dari ambiguitas dari kata "bilangan bulat" pada aljabar abstrak.

Referensi

Kutipan

^ Alaca & Williams 2003, hlm. 110, Defs. 6.1.2-3.
^ Alaca & Williams 2003, hlm. 74, Defs. 4.1.1-2.
^ ^a ^b Cassels 1986, hlm. 192.
^ ^a ^b Samuel 1972, hlm. 49.
^ Cassels 1986, hlm. 193
^ ^a ^b Baker. "Algebraic Number Theory" (PDF). hlm. 33–35.
^ Samuel 1972, hlm. 43.
^ Samuel 1972, hlm. 35.
^ Artin, Michael (2011). Algebra. Prentice Hall. hlm. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.
^ Samuel 1972, hlm. 50.
^ Samuel 1972, hlm. 59-62.
^ Cassels 1986, hlm. 41.

Daftar pustaka

Alaca, Saban; Williams, Kenneth S. (2003). Introductory Algebraic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780511791260. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
Cassels, J.W.S. (1986). Local fields. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 3. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Samuel, Pierre (1972). Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)

[3] '^ Gelanggang bilangan bulat, tanpa menentukan bidang apa pun, merujuk pada gelanggang $Z$ dari bilangan bulat "biasa", objek prototipe untuk seluruh gelanggang tersebut. Ini adalah konsekuensi dari ambiguitas dari kata "bilangan bulat" pada aljabar abstrak.

[FOOTNOTEAlacaWilliams2003110Defs._6.1.2-3-1] Alaca & Williams 2003, hlm. 110, Defs. 6.1.2-3.

[FOOTNOTEAlacaWilliams200374Defs._4.1.1-2-2] Alaca & Williams 2003, hlm. 74, Defs. 4.1.1-2.

[FOOTNOTECassels1986192-4] Cassels 1986, hlm. 192.

[FOOTNOTESamuel197249-5] Samuel 1972, hlm. 49.

[Cas193-6] Cassels 1986, hlm. 193

[:0-7] Baker. "Algebraic Number Theory" (PDF). hlm. 33–35.

[FOOTNOTESamuel197243-8] Samuel 1972, hlm. 43.

[FOOTNOTESamuel197235-9] Samuel 1972, hlm. 35.

[10] Artin, Michael (2011). Algebra. Prentice Hall. hlm. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.

[FOOTNOTESamuel197250-11] Samuel 1972, hlm. 50.

[FOOTNOTESamuel197259-62-12] Samuel 1972, hlm. 59-62.

[FOOTNOTECassels198641-13] Cassels 1986, hlm. 41.

[1]

[2]

[a]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]