Distribusi t Student

Halaman ini berisi artikel tentang sisi matematika dari distribusi t Student. Untuk penggunaannya pada statistika, lihat Uji t Student.

t Student

Fungsi kepekatan probabilitas
Fungsi distribusi kumulatif
Parameter	$\ \nu >0\$ derajat kebebasan (riil, hampir selalu bilangan bulat positif)
Dukungan	$\ x\in (-\infty ,\infty )$
PDF	$\textstyle \ {\frac {\Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\ \left(\ 1+{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-{\frac {\ \nu +1\ }{2}}}\$
CDF	$${\begin{matrix}\ {\frac {\ 1\ }{2}}+x\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\ {{}_{2}F_{1}}\!\left(\ {\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu +1\ }{2}};\ {\frac {3}{\ 2\ }};\ -{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ }{\ {\sqrt {\pi \nu }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ ,\end{matrix}}$$ dengan $\ {}_{2}F_{1}\!(\ ,\ ;\ ;\ )\$ adalah fungsi hipergeometris
Mean	$\ 0\$ untuk $\ \nu >1\ ,$ lainnya tak terdefinisi
Median	$\ 0\$
Modus	$\ 0\$
Variance	$\textstyle \ {\frac {\nu }{\ \nu -2\ }}\$ untuk $\ \nu >2\ ,$ ∞ untuk $\ 1<\nu \leq 2\ ,$ lainnya tak terdefinisi
Skewness	$\ 0\$ for $\ \nu >3\ ,$ lainnya tak terdefinisi
Ex. kurtosis	$\textstyle \ {\frac {6}{\ \nu -4\ }}$ for $\ \nu >4\ ,$ ∞ for $\ 2<\nu \leq 4\ ,$ otherwise undefined
Entropi	$\ {\begin{matrix}{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\left[\ \psi \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ \right]\\[0.5em]+\ln \left[{\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\left(\ {\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\ \right)\right]\ {\scriptstyle {\text{(nats)}}}\ \end{matrix}}$ dengan $\psi ()\$ adalah fungsi digamma, $\ {\mathrm {B} }(\ ,\ )\$ adalah fungsi beta.
MGF	tidak terdefinisi
CF	$\textstyle {\frac {\ \left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)^{\nu /2}\ K_{\nu /2}\left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)\ }{\ \Gamma (\nu /2)\ 2^{\nu /2-1}\ }}\$ for $\ \nu >0\$ $\ K_{\nu }(x)\$ adalah adalah bentuk kedua dari fungsi Bessel yang dimodifikasi
Kekurangan yang diperkirakan	$\ \mu +s\ \left(\ {\frac {\ \left(\ \nu +(T^{-1}(1-p))^{2}\right)\ \ \times \ \tau \left(T^{-1}(1-p)\right)\ }{\ (\nu -1)(1-p)\ }}\ \right)\$ dengan $\ T^{-1}(\ )\$ adalah invers dari bentuk standar CDF t Student, dan $\ \tau (\ )\$ adalah bentuk standar dari PDF t Student.

Pada teori peluang dan statistika, distribusi t Student (atau lebih sederhana distribusi t) t_ν adalah sebaran peluang yang menggeneralisasikan distribusi normal standar. Seperti distribusi normal, distribusi t simetris di sekitar nol dan memiliki bentuk bel.

Namun, distribusi t memiliki ekor yang lebih berat, dengan massa ekor bergantung pada parameter derajat kebebasan ν. Untuk ν = 1, distribusi t Student t_ν menjadi distribusi Cauchy standar, dengan ekor yang sangat "gemuk". Sementara itu, untuk ν → ∞, distribusi t menjadi distribusi normal standar N(0,1) yang memiliki ekor yang "tipis".

Distribusi t Students memainkan peran penting pada banyak analisis statistika, termasuk uji t Student untuk menguji signifikansi statistika dari perbedaan antara dua rerata sampel, pembangunan selang kepercayaan untuk perbedaan antara dua rerata populasi, dan pada analisis regresi linear.

Pada bentuk skala lokalisasi distribusi t lst(μ, τ², ν), distribusi ini menggeneralisasi distribusi normal dan juga muncul pada analisis Bayes pada data dari keluarga distribusi peluang majemuk keika dimarjinalkan oleh parameter variasi.

Definisi

Fungsi kepekatan probabilitas

Distribusi t Student memiliki fungsi kepekatan probabilitas (probability density function; PDF) sebagai berikut:

$f(t)\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\!\left({\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\;\left(\ 1+{\frac {\ t^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ ,$

dengan ν adalah jumlah derajat kebebasan dan Γ adalah fungsi gamma. Definisi ini juga dapat ditulis sebagai berikut:

$\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\;\Gamma \!\left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ =\ {\frac {1}{\ 2{\sqrt {\nu \ }}\ }}\ \cdot \ {\frac {\ (\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 5\cdot 3\ }{\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 4\cdot 2\ }}~.$

dengan B adalah fungsi beta. Pada beberapa nilai bilangan bulat derajat kebebasan ν , kita dapat: Untuk ν > 1 dan genap,

$\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}\ =\ {\frac {1}{\ \pi {\sqrt {\nu \ }}\ }}\ \cdot \ {\frac {(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 4\cdot 2\ }{\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 5\cdot 3\ }}~.$

Untuk ν > 1 dan ganjil,

$\int _{-\infty }^{t}f(u)\ \operatorname {d} u~=~{\frac {1}{2}}+t\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)\ }}\ {}_{2}F_{1}\!\left(\ {\frac {1}{2}},{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\ ;{\frac {3}{\ 2\ }}\ ;\ -{\frac {~t^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ ,$

Fungsi kerapatan probabilitas bernilai simetris dan bentuknya terlihat seperti bel selayaknya variabel yang terdistribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1, tetapi dengan bentuk yang sedikit lebih rendah dan lebar. Ketika nilai derajat kebabsannya meningkat, distribusi t mendekati distribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1. Untuk alasan ini, parameter ν juga disebut sebagai parameter normalisasi.

Gambar berikut memperlihatkan kerapatan dari distribusi t ketika nilai ν meningkat. Distribusi normal diperlihatkan dengan warna biru sebagai perbandingan. Catat bahwa distribusi t (garis merah) menjadi lebih dekat dengan distribusi normal saat nilai ν meningkat.

Kerapatan distribusi t (merah) untuk derajat kebebasan dengan nilai 1, 2, 3, 5, 10, dan 30 dibandingkan dengan distribusi normal standar (biru).
Plot sebelumnya diperlihatkan dalam warna hijau.

1 derajat kebebasan

2 derajat kebebasan

3 derajat kebebasan

5 derajat kebebasan

10 derajat kebebasan

30 derajat kebebasan

Fungsi distribusi kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function; CDF) dapat dituliskan dalam bentuk I, bentuk fungsi beta tidak lengkap. Untuk t > 0,

$F(t)=\int _{-\infty }^{t}\ f(u)\ \operatorname {d} u~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\!\left({\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\right)\ ,$

dengan

$x(t)={\frac {\nu }{\ t^{2}+\nu \ }}~.$

Nilai lain dapat dihitung dengan simetris. Persamaan alternatif, berlaku untuk t² < ν, adalah

$f(t)\ =\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\;\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\;\left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ ,$

dengan ₂F₁ ( , ; ; ) adalah salah satu contoh dari fungsi hipergeometris.

Untuk informasi lebih lanjut tentang fungsi distribusi kumulatif invers, lihat fungsi kuantil § Distribusi t Student

Kasus khusus

Beberapa nilai ν memberikan bentuk sederhana dari distribusi t Students.

$\ \nu \$	PDF	CDF	Catatan
1	$\ {\frac {\ 1\ }{\ \pi \ (1+t^{2})\ }}\$	$\ {\frac {\ 1\ }{2}}+{\frac {\ 1\ }{\pi }}\ \arctan(\ t\ )\$	Lihat Distribusi Cauchy
2	$\ {\frac {1}{\ 2\ {\sqrt {2\ }}\ \left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}\$	$\ {\frac {1}{\ 2\ }}+{\frac {t}{\ 2{\sqrt {2\ }}\ {\sqrt {1+{\frac {~t^{2}\ }{2}}\ }}\ }}\$
3	$\ {\frac {2}{\ \pi \ {\sqrt {3\ }}\ \left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{3}}\ \right)^{2}\ }}\$	$\ {\frac {\ 1\ }{2}}+{\frac {\ 1\ }{\pi }}\ \left[{\frac {\left(\ {\frac {t}{\ {\sqrt {3\ }}\ }}\ \right)}{\left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{3}}\ \right)}}+\arctan \left(\ {\frac {t}{\ {\sqrt {3\ }}\ }}\ \right)\ \right]\$
4	$\ {\frac {\ 3\ }{\ 8\ \left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{4}}\ \right)^{5/2}}}\$	$\ {\frac {\ 1\ }{2}}+{\frac {\ 3\ }{8}}\left[\ {\frac {t}{\ {\sqrt {1+{\frac {~t^{2}\ }{4}}~}}\ }}\right]\left[\ 1-{\frac {~t^{2}\ }{\ 12\ \left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{4}}\ \right)\ }}\ \right]\$
5	$\ {\frac {8}{\ 3\pi {\sqrt {5\ }}\left(1+{\frac {\ t^{2}\ }{5}}\right)^{3}\ }}\$	$\ {\frac {\ 1\ }{2}}+{\frac {\ 1\ }{\pi }}{\left[{\frac {t}{\ {\sqrt {5\ }}\left(1+{\frac {\ t^{2}\ }{5}}\right)\ }}\left(1+{\frac {2}{\ 3\left(1+{\frac {\ t^{2}\ }{5}}\right)\ }}\right)+\arctan \left({\frac {t}{\ {\sqrt {\ 5\ }}\ }}\right)\right]}\$
$\ \infty \$	$\ {\frac {1}{\ {\sqrt {2\pi \ }}\ }}\ e^{-t^{2}/2}$	$\ {\frac {\ 1\ }{2}}\ {\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\ {\sqrt {2\ }}\ }}\right)\right]}\$	Lihat Distribusi normal, Fungsi galat

Referensi

• Senn, S.; Richardson, W. (1994). "The first t test". Statistics in Medicine. 13 (8): 785–803. doi:10.1002/sim.4780130802. PMID 8047737. 
• Hogg RV, Craig AT (1978). Introduction to Mathematical Statistics (edisi ke-4th). New York: Macmillan. ASIN B010WFO0SA. 
• Venables, W. N.; Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S (edisi ke-Fourth). Springer. 
• Gelman, Andrew; John B. Carlin; Hal S. Stern; Donald B. Rubin (2003). Bayesian Data Analysis (edisi ke-Second). CRC/Chapman & Hall. ISBN 1-58488-388-X. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Student distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term "Student's distribution")
• Rouaud, M. (2013), Probability, Statistics and Estimation (PDF) (edisi ke-short)  First Students on page 112.
• Student's t-Distribution, Diarsipkan 2021-04-10 di Wayback Machine.