Daftar transformasi koordinat

Daftar transformasi koordinat berikut memuat transformasi sistem-sistem koordinat yang paling umum digunakan.

2-Dimensi

Diketahui (x, y) pada sistem koordinat Kartesius baku, serta r dan θ pada sistem koordinat polar baku.

Dari koordinat polar ke koordinat Kartesius

$x=r\,\cos \theta \quad$

$y=r\,\sin \theta \quad$

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}$

$\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r$

Dari koordinat Kartesius ke koordinat polar

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\theta ^{\prime }=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|$

Catatan: penghitungan $\theta ^{\prime }$ menghasilkan sudut resultan pada kuadran pertama ($0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$). Untuk menghitung $\theta$, harus dirujuk pada koordinat Kartesius semua, tentukan kuadran di mana $\theta$ terletak (misalnya (3,-3) [Kartesius] terletak pada kuadran 4 atau "QIV"), maka gunakan persamaan berikut untuk menghitung $\theta$:

Untuk $\theta ^{\prime }$ in QI:

$\theta =\theta ^{\prime }$

Untuk $\theta ^{\prime }$ in QII:

$\theta =\pi -\theta ^{\prime }$

Untuk $\theta ^{\prime }$ in QIII:

$\theta =\pi +\theta ^{\prime }$

Untuk $\theta ^{\prime }$ in QIV:

$\theta =2\pi -\theta ^{\prime }$

Nilai $\theta$ harus dihitung dengan cara ini karena semua nilai $\theta$, $\tan \theta$ hanya didefinisikan untuk $-{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}$, dan bersifat periodik (dengan periode $\pi$). Artinya fungsi invers hanya menghasilkan nilai dalam domain fungsi itu, tetapi terbatas pada satu periode saja. Jadi, rentang fungsi invers hanyalah setengah lingkaran.

Perhatikan bahwa dapat pula digunakan

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\theta ^{\prime }=2\arctan {\frac {y}{x+r}}$

Dari koordinat log-polar ke koordinat Kartesius

Artikel utama: Koordinat log-polar

${\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}$

Dengan menggunakan bilangan kompleks $(x,y)=x+iy'$, transformasi dapat ditulis sebagai

$x+iy=e^{\rho +i\theta }\,$

yaitu diberikan oleh fungsi eksponensial kompleks.

Dari koordinat Kartesius ke koordinat log-polar

${\begin{cases}\rho =\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta =\arctan {\frac {y}{x}}.\end{cases}}$

Dari koordinat bipolar ke koordinat Kartesius

Artikel utama: Koordinat bipolar

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

Dari koordinat two-center bipolar ke koordinat Kartesius

Artikel utama: Koordinat two-center bipolar

$x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}$

$y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}$

Dari koordinat two-center bipolar ke koordinat polar

$r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}$

$\theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]$

di mana 2c adalah jarak antara kutub-kutub.

Dari persamaan Cesàro ke koordinat Kartesius

Artikel utama: Persamaan Cesàro

$x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds$

$y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds$

Dari koordinat Kartesius ke panjang dan kurva Arc

$\kappa ={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}$

$s=\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt$

Dari koordinat polar ke panjang dan kurva Arc

$\kappa ={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}$

$s=\int _{a}^{\phi }{\sqrt {1+y'^{2}}}\,d\phi$

3-Dimensi

Diketahui (x, y, z) pada sistem koordinat Kartesius baku, dan (ρ, θ, φ) pada koordinat spherical, dengan sudut θ diukur dari aksis +Z axis. Sebagaimana φ mempunyai rentang 360° pertimbangan yang sama dengan koordinat polar (2 dimensi) diterapkan bilamana diambil suatu arctangen. θ mempunyai rentang 180°, dari 0° ke 180°, dan tidak bermasalah jika dihitung dari suatu arckosinus, tetapi perhatikan untuk suatu arctangen. Jika, dalam definisi alternatif, θ dipilih untuk rentang dari −90° ke +90°, dengan arah yang berlawanan dibandingkan definisi sebelumnya, maka dapat dihitung secara unik dari suatu arcsinus, tetapi hati-hati dengan arckotangen. Dalam kasus ini semua rumus berikut semua argumen θ harus ditukar sinus dan kosinus-nya, dan sebagai turunan juga harus ditukar tanda plus dan minusnya.

Semua pembagian oleh nol menghasilkan kasus-kasus khusus dengan arah di sepanjang aksis-aksis utama dan dalam praktik dapat dipecahkan dengan mudah melalui observasi.

Ke koordinat Kartesius

Dari koordinat spherical

Artikel utama: Koordinat spherical

${x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \phi \quad$

${y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \phi \quad$

${z}=\rho \,\cos \theta \quad$

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\rho \cos \theta \cos \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}$

sehingga untuk volume elemen:

$dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}d\rho \;d\theta \;d\phi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\phi \;$

Dari koordinat cylindrical

Artikel utama: Koordinat cylindrical

${x}={r}\,\cos \theta$

${y}={r}\,\sin \theta$

${z}={h}\,$

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

sehingga untuk volume elemen:

$dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}dr\;d\theta \;dh={r}\;dr\;d\theta \;dh\;$

Ke koordinat Spherical

Dari koordinat Kartesius

${\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

${\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)$

${\theta }=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)$

${\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}$

sehingga untuk volume elemen:

$d\rho \ d\theta \ d\phi =\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}dx\ dy\ dz={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}dx\ dy\ dz$

Dari koordinat cylindrical

${\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

${\phi }=\phi \quad$

${\theta }=\arctan {\frac {r}{h}}$

${\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\phi ,h)}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\\{\frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}&0&{\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}$

$\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\phi ,h)}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

Ke koordinat cylindrical

Dari koordinat Kartesius

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\theta ={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{r}})&{\mbox{if }}x\geq 0\\-\arcsin({\frac {y}{r}})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\\end{cases}}$

$h=z\quad$

Note that many computer systems may offer a more concise function for computing $\theta$, such as atan2(y,x) in the C language.

${\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Dari koordinat spherical

$r=\rho \sin \phi \,$

$\theta =\theta \,$

$h=\rho \cos \phi \,$

${\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \phi &0&\rho \cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{pmatrix}}$

$\det {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}=-\rho$

Dari koordinat Kartesius ke panjang, kurva, dan torsi Arc

$s=\int _{0}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,dt$

$\kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}$

$\tau ={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}$