Bukti bahwa e irasional

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari

Bilangan e diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan siswa adik Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa e merupakan bilangan irasional, atau dalam kata lain tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat.

Bukti Euler[sunting | sunting sumber]

Euler menulis bukti pertama irasionalitas e pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian).[1][2][3] Ia menghitung e sebagai pecahan berlanjut, yaitu:

Bukti Fourier[sunting | sunting sumber]

Bukti yang paling dikenal adalah reductio ad absurdum Joseph Fourier,[4] yang didasarkan pada pernyataan berikut:

Pada awalnya e diasumsikan sebagai bilangan rasional dengan bentuk ab. Perlu dicatat bahwa b tidak mungkin sama dengan satu karena e bukan bilangan bulat. Dari pernyataan di atas dapat ditunjukkan bahwa e hanya berada di antara 2 dan 3.

Bukti lain[sunting | sunting sumber]

Bukti lain[5] dapat diperoleh dengan mencatat bahwa

Pernyataan berikut juga dapat dijadikan sebagai bukti:[6]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Euler, Leonhard (1744). "De fractionibus continuis dissertatio" (PDF). Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 9: 98–137.  Parameter |trans_title= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  2. ^ Euler, Leonhard (1985). "An essay on continued fractions". Mathematical Systems Theory. 18: 295–398. doi:10.1007/bf01699475. 
  3. ^ Sandifer, C. Edward (2007). "Chapter 32: Who proved e is irrational?". How Euler did it. Mathematical Association of America. hlmn. 185–190. ISBN 978-0-88385-563-8. LCCN 2007927658. 
  4. ^ de Stainville, Janot (1815). Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie. Veuve Courcier. hlmn. 340–341.  Parameter |trans_title= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  5. ^ MacDivitt, A. R. G.; Yanagisawa, Yukio (1987), "An elementary proof that e is irrational", The Mathematical Gazette, London: Mathematical Association, 71 (457): 217, doi:10.2307/3616765, JSTOR 3616765 
  6. ^ Penesi, L. L. (1953). "Elementary proof that e is irrational". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 60 (7): 474. doi:10.2307/2308411. JSTOR 2308411.