Bilangan p-adik

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian


Bilangan bulat 3-adic, dengan karakter yang sesuai yang dipilih pada grup Pontryagin ganda mereka

Dalam matematika, Bilangan p-adic atau disebut juga p-sistem bilangan adic untuk semua bilangan prima p memperluas aritmatika biasa dari bilangan rasional dengan cara yang berbeda dari perluasan sistem bilangan rasional ke sistem riil dan bilangan kompleks. Perluasan dicapai dengan interpretasi alternatif dari konsep "kedekatan" atau nilai absolut. Secara khusus, dua p-bilangan adic dianggap dekat jika perbedaannya habis dibagi pangkat tinggi p: semakin tinggi kekuatannya, semakin dekat mereka. Properti ini memungkinkan p - bilangan adic untuk menyandikan informasi kesesuaian dengan cara yang ternyata memiliki aplikasi yang kuat di teori bilangan. Contohnya, dalam bukti terkenal dari Teorema Terakhir Fermat oleh Andrew Wiles.[1]

Angka-angka ini pertama kali dijelaskan oleh Kurt Hensel pada tahun 1897,[2] meskipun, dengan melihat ke belakang, beberapa karya sebelumnya Ernst Kummer dapat ditafsirkan sebagai secara implisit menggunakan p-bilangan adic.[note 1] p - angka adic dimotivasi terutama oleh upaya untuk membawa ide dan teknik metode deret pangkat ke teori bilangan. Pengaruh mereka sekarang jauh melampaui ini. Contohnya, bidang p-analisis adic pada dasarnya memberikan bentuk alternatif dari kalkulus.

Templat:Ring theory sidebar Secara formal, untuk bilangan prima p, bidang Qp dari p - bilangan adic adalah penyelesaian dari bilangan rasional. Lapangan dari Qp juga diberi topologi yang diturunkan dari metrik, yang diturunkan dari p-adic order, alternatif pada penilaian. Ruang metrik ini adalah lengkap dalam arti bahwa setiap urutan Cauchy menyatu ke satu titik di Qp. Hal inilah yang memungkinkan pengembangan kalkulus pada Qp, dan interaksi struktur analitik dan aljabar inilah yang memberikan daya dan utilitas sistem bilangan adik p.


Pendahuluan[sunting | sunting sumber]

Bagian ini adalah pengantar informal untuk p-bilangan adic, menggunakan contoh dari ring bilangan 10-adic (dekadik). Meskipun untuk p-bilangan adic p harus berupa bilangan prima, basis 10 dipilih untuk menyoroti analogi dengan desimal. Angka dekadik umumnya tidak digunakan dalam matematika: karena 10 bukan bilangan prima atau kekuatan utama, dekadik bukanlah bidang. Konstruksi dan properti yang lebih formal diberikan di bawah ini.

Dalam standar representasi desimal, hampir semua[note 2] bilangan riil tidak memiliki representasi desimal yang mengakhiri. Contohnya, 1/3 direpresentasikan sebagai desimal non-terminating sebagai berikut

Secara informal, desimal non-terminating mudah dipahami, karena jelas bahwa bilangan real dapat didekati hingga tingkat presisi yang diperlukan dengan terminating desimal. Bila dua pangkat desimal berbeda hanya setelah tempat desimal ke-10, keduanya cukup dekat satu sama lain; dan jika perbedaannya hanya setelah tempat desimal ke-20, keduanya bahkan lebih mendekati.

Bilangan 10-adic menggunakan ekspansi non-terminating yang serupa, tetapi dengan konsep "kedekatan" yang berbeda. Sedangkan dua ekspansi desimal dekat satu sama lain jika perbedaannya adalah pangkat 10 besar negatif, dua 10-adic ekspansi dekat jika perbedaan mereka besar positif pangkat 10. Jadi 4739 dan 5739, yang berbeda 103, dekat di dunia 10-adic, dan 72694473 dan 82694473 bahkan lebih dekat, berbeda 107.

Lebih tepatnya, setiap bilangan rasional positif r dapat diekspresikan secara unik sebagai r =: ab·10d, di mana a dan b adalah bilangan bulat positif dan gcd(a,b)=1, gcd(b,10)=1, gcd(a,10)<10. Biarkan 10-adic "nilai absolut"[note 3] of r be

 .

Selain itu, kami mendefinisikan

 .

Sekarang, mencari a/b = 1 dan d = 0,1,2,... kita memiliki

|100|10 = 100, |101|10 = 10−1, |102|10 = 10−2, ...,

dengan konsekuensi yang kita miliki

 .

Kedekatan dalam sistem bilangan apa pun ditentukan oleh metrik. Menggunakan metrik 10-adic jarak antar angka x dan y diberikan oleh |x − y|10. Konsekuensi menarik dari metrik 10-adic (atau dari p-metrik adic) adalah tidak diperlukan lagi tanda negatif. (Faktanya, tidak ada hubungan urutan yang kompatibel dengan operasi cincin dan metrik ini.) Sebagai contoh, dengan memeriksa urutan berikut kita dapat melihat bagaimana unsigned 10-adic bisa semakin mendekati dan mendekati angka −1:

       so  .
       so  .
       so  .
       so  .

dan membawa urutan ini ke batasnya, kita dapat menyimpulkan ekspansi 10-adic dari −1

 ,

thus

 ,

sebuah ekspansi yang jelas merupakan representasi komplemen sepuluh.

Dalam notasi ini, ekspansi 10-adic dapat diperpanjang tanpa batas ke kiri, berbeda dengan ekspansi desimal, yang dapat diperpanjang tanpa batas ke kanan. Perhatikan bahwa ini bukan satu-satunya cara untuk menulis p-bilangan adic untuk alternatif, lihat bagian Notasi di bawah.

Secara lebih formal, angka 10 adic dapat didefinisikan sebagai

dimana ai adalah digit yang diambil dari himpunan {0, 1, ..., 9} dan indeks awal n bisa positif, negatif atau 0, tetapi harus terbatas. Dari definisi ini, jelas bahwa bilangan bulat positif dan bilangan rasional positif dengan penghentian ekspansi desimal akan menghentikan ekspansi 10-adik yang identik dengan desinya. Nomor lain mungkin memiliki ekspansi 10-adic tanpa henti.

Anda dapat mendefinisikan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada bilangan 10-adic secara konsisten, sehingga bilangan 10-adic membentuk gelanggang komutatif.

Kita dapat membuat ekspansi 10 adic untuk bilangan "negatif"[note 4] as follows

dan pecahan yang memiliki ekspansi desimal non-akhiri juga memiliki ekspansi 10-adic yang tidak berujung. Sebagai contoh

Menggeneralisasi contoh terakhir, kita dapat menemukan ekspansi 10-adic tanpa digit di sebelah kanan koma desimal untuk bilangan rasional apa pun a/b sedemikian rupa sehingga b adalah co-prime menjadi 10; Teorema Euler menjamin bahwa jika b adalah co-prima sampai 10, maka ada n seperti 10n − 1 adalah kelipatan dari b. Bilangan rasional lainnya dapat dinyatakan sebagai bilangan 10-adic dengan beberapa digit di belakang koma.

Seperti disebutkan di atas, angka 10-adic memiliki kelemahan utama. Dimungkinkan untuk menemukan pasangan bilangan 10-adic bukan nol (yang tidak rasional, sehingga memiliki jumlah digit yang tak terbatas) yang hasil kalinya 0.[3][note 5] Ini berarti bilangan 10-adic tidak selalu memiliki invers perkalian, yaitu kebalikan yang valid, yang pada gilirannya menyiratkan bahwa meskipun angka 10-adic membentuk cincin, mereka tidak membentuk bidang, sebuah kekurangan yang membuat mereka kurang berguna sebagai alat analisis. Cara lain untuk mengatakan ini adalah bahwa cincin dari bilangan 10-adic bukan merupakan domain integral karena mengandung pembagi nol.[note 5] Alasan untuk properti ini ternyata 10 adalah bilangan komposit yang bukan pangkat prima. Masalah ini bisa dihindari dengan menggunakan bilangan prima p atau pangkat prima pn sebagai dasar dari sistem bilangan, bukan 10 dan memang karena alasan ini p dalam p-adic biasanya dianggap prima.

Pecahan Notasi desimal asli Notasi 10-adic Pecahan Notasi desimal asli Notasi 10-adic Pecahan Notasi desimal asli Notasi 10-adic
0.5 0.5 0.714285 4285715 0.9 0.9
0.3 67 0.857142 7142858 0.09 091
0.6 34 0.125 0.125 0.18 182
0.25 0.25 0.375 0.375 0.27 273
0.75 0.75 0.625 0.625 0.36 364
0.2 0.2 0.875 0.875 0.45 455
0.4 0.4 0.1 89 0.54 546
0.6 0.6 0.2 78 0.63 637
0.8 0.8 0.4 56 0.72 728
0.16 3.5 0.5 45 0.81 819
0.83 67.5 0.7 23 0.90 0910
0.142857 2857143 0.8 12 0.083 6.75
0.285714 5714286 0.1 0.1 0.416 3.75
0.428571 8571429 0.3 0.3 0.583 67.25
0.571428 1428572 0.7 0.7 0.916 34.25

p-ekspansi adic[sunting | sunting sumber]

Saat berhadapan dengan bilangan asli, bila p dianggap sebagai bilangan prima tetap, maka bilangan bulat positif apa pun dapat ditulis sebagai bilangan pokok p ekspansi dalam bentuk

where the ai are integers in {0, ... , p − 1}.[4] Contohnya, ekspansi biner dari 35 adalah 1·25 + 0·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20, often written in the shorthand notation 1000112.

Pendekatan akrab untuk memperluas deskripsi ini ke domain rasional yang lebih besar[5][6] (dan, akhirnya, ke riil) adalah menggunakan jumlah dari bentuk:

Arti yang pasti diberikan pada jumlah ini berdasarkan urutan Cauchy s, menggunakan nilai absolut sebagai metrik. Jadi, misalnya, 1/3 dapat dinyatakan dalam basis 5 sebagai batas urutan 0.1313131313...5. Dalam rumusan ini, bilangan bulat persis dengan angka-angka itu ai = 0 untuk nilai i < 0.

Dengan p-bilangan adic, di sisi lain, kita memilih untuk memperluas ekspansi p dasar dengan cara yang berbeda. Tidak seperti bilangan bulat tradisional, di mana besaran ditentukan, "ukuran" dari p - bilangan adic ditentukan oleh p-nilai absolut adic, di mana pangkat positif yang tinggi dari p relatif kecil dibandingkan dengan pangkat negatif yang tinggi dari p.

Pertimbangkan jumlah bentuk yang tak terbatas:


Berbeda dengan ekspansi bilangan real yang meluas ke kanan sebagai jumlah pangkat dasar yang semakin kecil dan semakin negatif p, p-adic angka dapat meluas ke kiri selamanya, properti yang sering kali benar untuk p-bilangan bulat adic. Contohnya, pertimbangkan p-ekspansi adic 1/3 di basis 5. Dapat dibuktikan sebagai ... 1313132 5, yaitu limit urutan 25, 325, 1325, 31325, 131325, 3131325, 13131325, ... :

Mengalikan jumlah tak hingga ini dengan 3 di basis 5 menghasilkan ...00000015. Karena tidak ada pangkat negatif 5 dalam perluasan 1/3 ini (yaitu, tidak ada angka di sebelah kanan koma desimal), kita melihat bahwa 1/3 memenuhi definisi sebagai p-adic bilangan bulat di basis 5.

Secara lebih formal, p-adic expansions dapat digunakan untuk mendefinisikan bidang Qp dari p-bilangan adic sedangkan p-bilangan bulat adic membentuk subring dari Qp, menyatakan Zp. (Jangan bingung dengan cincin bilangan bulat modulo p yang terkadang juga ditulis Zp. Untuk menghindari ambiguitas, Z/pZ atau Z/(p) sering digunakan untuk mewakili bilangan bulat modulo p.)

Meskipun dimungkinkan untuk menggunakan pendekatan di atas untuk mendefinisikan p-bilangan adic dan menjelajahi propertinya, seperti dalam kasus bilangan real, pendekatan lain umumnya lebih disukai. Oleh karena itu, kami ingin mendefinisikan gagasan tentang penjumlahan tak hingga yang membuat ekspresi ini bermakna, dan ini paling mudah dicapai dengan pengenalan metrik p-adic. Dua solusi yang berbeda namun setara untuk masalah ini disajikan pada bagian Konstruksi di bawah.

Notasi[sunting | sunting sumber]

Ada beberapa ketentuan berbeda untuk penulisan p-adic ekspansi. Sejauh ini artikel ini telah menggunakan notasi untuk p-ekspansi adic di mana kekuatan dari p meningkat dari kanan ke kiri. Dengan notasi kanan-ke-kiri ini perluasan 3-adic dari ​15, contohnya, ditulis sebagai

Saat melakukan aritmatika dalam notasi ini, angka dibawa ke kiri. Dimungkinkan juga untuk menulis p-ekspansi adic sehingga pangkat dari p meningkat dari kiri ke kanan, dan digit dibawa ke kanan. Dengan notasi kiri-ke-kanan ini perluasan 3-adic dari ​15 adalah

p-ekspansi adic dapat ditulis dengan himpunan digit lain sebagai pengganti {0, 1, ..., p − 1}. Contohnya, perluasan 3-adic dari 1/5 dapat ditulis menggunakan angka terner seimbang {1,0,1} as

Konstruksi[sunting | sunting sumber]

Pendekatan analitik[sunting | sunting sumber]

p = 2 ← distance = 1 →
Desimal
Biner
← d = ​12 ← d = ​12
‹ d=​14 › ‹ d=​14 › ‹ d=​14 › ‹ d=​14 ›
‹​18 ‹​18 ‹​18 ‹​18 ‹​18 ‹​18 ‹​18 ‹​18
................................................
17  10001          J      
16 10000  J  
15 1111     L
14 1110   L  
13 1101     L
12 1100   L  
11 1011     L
10 1010   L  
9 1001     L
8 1000   L  
7 111   L
6 110 L  
5 101   L
4 100 L  
3 11   L
2 10 L  
1 1   L
0 0...000 L  
−1 1...111      J
−2 1...110    J  
−3 1...101      J
−4 1...100    J  
Dec Bin ················································
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-adic (p = 2) susunan bilangan bulat, dari kiri ke kanan. Ini menunjukkan pola pembagian hierarki yang umum untuk ruang ultrametrik. Titik-titik dalam jarak 1/8 dikelompokkan dalam satu strip berwarna. Sepasang strip dalam jarak 1/4 memiliki khroma yang sama, empat strip dalam jarak 1/2 memiliki hue yang sama. Rona ditentukan oleh bit paling signifikan, saturasi - selanjutnya (21) bit, dan kecerahan tergantung pada nilai 22 sedikit. Bit (tempat digit) yang kurang signifikan untuk metrik biasa lebih signifikan untuk jarak p-adic.
Gambar serupa untuk p = 3 (klik untuk memperbesar) menunjukkan tiga bola tertutup dengan radius 1/3, dimana masing-masing terdiri dari 3 bola dengan radius 1/9

Bilangan real dapat didefinisikan sebagai kelas ekivalen dari urutan Cauchy dari bilangan rasional; ini memungkinkan kita untuk, misalnya, menulis 1 sebagai 1.000... = 0.999... . Definisi urutan Cauchy bergantung pada metrik yang dipilih, jadi jika kita memilih urutan yang berbeda, kita dapat membuat bilangan selain bilangan riil. Metrik biasa yang mana metrik Euklides.

Misalnya dengan x = 63/550 = 2−1·32·5−2·7·11−1

Definisi dari |x|p memiliki efek bahwa kekuatan tinggi dari p menjadi "kecil". Dengan teorema dasar aritmatika, untuk bilangan rasional bukan nol x ada himpunan terbatas unik pri yang berbeda dan urutan bilangan bulat bukan nol yang sesuai seperti yang:

It then follows that for all , and for any other prime

Dapat ditunjukkan bahwa dalam Qp, setiap elemen x dapat ditulis dengan cara yang unik seperti

dimana k adalah bilangan bulat seperti itu ak0 dan masing-masing ai is in {0, ..., p − 1 }. This series konvergen untuk x sehubungan dengan metrik dp. The p-adic bilangan bulat Zp adalah elemen di mana k bukan negatif. Karena itu, Qp isomorfik untuk Z[1/p] + Zp.[7]

Pendekatan aljabar[sunting | sunting sumber]

Dalam pendekatan aljabar, pertama-tama kita mendefinisikan cincin dari p-bilangan bulat adic, dan kemudian buat bidang pecahan cincin ini untuk mendapatkan bidang p-bilangan adic. ,


Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan Kaki[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Translator's introduction, page 35: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a discrete valuation is behind Kummer's concept of ideal numbers."(Dedekind & Weber 2012, hlm. 35)
  2. ^ Jumlah bilangan real dengan representasi desimal yang berakhir adalah countably infinite, sedangkan jumlah bilangan real tanpa representasi seperti itu adalah tak terhingga tak terbatas.
  3. ^ Fungsi yang ditentukan sebenarnya bukan nilai absolut, karena persyaratan perkalian dilanggar: and , but . Namun, ini cukup baik untuk membuat metrik, karena ini tidak membutuhkan multiplikatif.
  4. ^ Lebih tepatnya: terbalik secara aditif angka, karena tidak ada hubungan urutan dalam 10-adics, jadi tidak ada angka yang kurang dari nol.
  5. ^ a b For let and . We have and .
    Now,
    seperti membagikan . Artinya urutan berkumpul pada gelanggang bpada angka 10-adic. Selain itu, ini berbeda dari 0, yaitu . Fakta serupa berlaku .
    Tapi produknya (urutan produk searah) dapat dibagi dengan pangkat 10 yang sewenang-wenang, sehingga pada gelanggang angka 10-adic.

Kutipan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ (Gouvêa 1994, hlm. 203–222)
  2. ^ (Hensel 1897)
  3. ^ See Gérard Michon's article at
  4. ^ (Kelley 2008, hlm. 22–25)
  5. ^ Bogomolny, Alexander. "p-adic Expansions". 
  6. ^ Koç, Çetin. "A Tutorial on p-adic Arithmetic" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2019-08-05. Diakses tanggal 2020-09-24. 
  7. ^ Bump, Daniel (1998). Automorphic Forms and Representations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 55. Cambridge University Press. hlm. 277. ISBN 9780521658188. 

Referensi[sunting | sunting sumber]

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "p-adic Number". MathWorld.