Ars Magna (buku Cardano)

Ars Magna
	Sampul buku Ars Magna karya Girolamo Cardano
Pengarang	Girolamo Cardano
Bahasa	Latin
Subjek	Matematika
Tanggal terbit	1545

Ars Magna adalah karya buku penting yang dituliskan dalam bahasa Latin. Buku ini dicatat oleh Girolamo Cardano, yang membahas tentang aljabar. Buku ini pertama kali diterbitkan pada tahun 1545, yang sebelumnya berjudul Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis, Lib. unus. Sebelum pada masa hidup Cardano, terdapat buku edisi kedua yang diterbitkan pada tahun 1570. Bukunya dianggap sebagai salah satu dari tiga risalah ilmiah yang berpengaruh pada awal zaman Renaissance, bersamaan dengan De revolutionibus orbium coelestium karya Corpenicus dan De humani corporis fabrica karya Vesailus. Edisi pertama dari ketiga buku tersebut diterbitkan dalam periode dua tahun (1543–1545).

Latar belakang dan pengembangan

Pada tahun 1535, Niccolò Fontana Tartaglia menjadi terkenal karena memecahkan bentuk persamaan kubik $x^{3}+ax=b$ (dengan $a,b>0$ ). Namun, Tartagila memilih untuk merahasiakan metodenya. Pada tahun 1539, Cardano, sebelumnya seorang pengajar matematika di Piatti Foundation di Milan, menerbitkan buku matematikanya untuk pertama kali, Pratica Arithmeticæ et mensurandi singularis. Di tahun yang sama, Cardano meminta Tartaglia menjelaskan metodenya untuk menyelesaikan persamaan kubik. Tartaglia, yang sebelumnya segan-segan, memberitahukannya, tetapi ia meminta Cardano untuk tidak membagikan informasi tersebut hingga diterbitkan. Cardano mendalami ilmu matematika selama beberapa tahun ke depan, yang mengerjakan cara memperluas rumus Tartagila ke daalam bentuk jenis persamaan kubik lainnya. Lebih lanjut, muridnya Lodovico Ferrari menemukan penyelesaian persamaan kuartik, tetapi metodenya bergantung pada milik Tartaglia, karena metodenya melibatkan pengunaan persamaan kubik bantu. Kemudian, Cardano mengetahui bahwa Scipione del Ferro sudah menemukan rumus Tartaglia sebelum Tartaglia menemukannya, suatu penemuan yang mendorongnya untuk menerbitkan hasil karyanya.

Isi dan kontribusi utama

Bukunya dibagi menjadi empat puluh bab, yang membahas penyelesaian aljabar untuk persamaan kubik dan persamaan kuartik. Karya tersebut diterbitkan untuk pertama kalinya. Cardano mengakui bahwa Tartaglia memberikan rumusnya untuk menyelesaikan jenis persamana kubik, tetapi rumus tersebut sudah ditemukan oleh Scipione del Ferro. Cardano juga mengakui bahwa Ferrari yang telah menemukan penyelesaian persamaan kuartik.

Semenjak pada waktu ketika bilangan negatif tidak diakui secara umum, mengetahui penyelesaian persamaan kubik, contohnya dalam bentuk $x^{3}+ax=b$ , tidak berarti mengetahui penyelesaian persamaan kubik dalam bentuk $x^{3}+ax=b$ (dengan $a,b>0$ ). Selain itu, Cardano juga menjelaskan bagaimana cara menyederhanakan persamaan dalam bentuk $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ ke dalam persamaan kubik tanpa adanya suku kuadratik. Namun lagi-lagi, ia harus mempertimbangkan beberapa kasus. Secara keseluruhan, Cardano terdorong untuk mempelajari tiga belas jenis persamaan kubik yang berbeda (bab XI–XXIII).

Dalam Ars Magna, konsep akar kelipatan muncul untuk pertama kalinya (bab I). Contoh pertama adalah Cardano yang menyajikan suatu persamaan polinomial dengan akar kelipatan, yaitu $x^{3}=12x+16$ , dan −2 adalah akar gandanya.

Ars Magna juga membahas kehadiran bilangan kompleks untuk pertama kalinya (bab XXXVII). Permasalahan yang sudah disebutkan Cardano mengarah pada akar kuadrat dari bilangan bulat, sebagai berikut: carilah dua bilangan yang penjumlahannya sama dengan 10 dan hasil kalinya 40. Hasil dari kedua bilangan tersebut adalah 5 + √−15 dan 5 − √−15. Cardano menyebut hasil tersebut "sophistic", karena ia tidak menemukan arti tersebut secara fisik, tetapi dengan tegas menulis bahwa "meskipun demikian kita akan mengoperasinya" dan secara resmi dihitung bahwa hasil kalinya memang sama dengan 40. Cardano kemudian mengatakan hasil tersebut "cerdik dan tidak berguna".

Adapun terdapat kesalahpahaman umum bahwa Cardano memperkenalkan bilangan kompleks dalam penyelesaian persamaan kubik. Sebab rumus Cardano untuk akar polinomial $x^{3}+px+q$ , bila dinyatakan dalam notasi matematika saat ini, sebagai ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},$ akar kudarat dari bilangan negatif memang terlihat pada konteks ini. Namun, $q^{2}/4+p^{3}/27$ tidak pernah bernilai negatif dalam kasus istimewa yang diterapkan Cardano.^[1]

Catatan

^ Ini bukan berarti bahwa tidak ada persamana kubik yang muncul di Ars Magna karena $q^{2}/4+p^{3}/27<0$ . Sebagai contoh, bab I memuat persamaan $x^{3}+9=12x$ sehingga $q^{2}/4+p^{3}/27=-175/4$ . Namun, Cardano tidak pernah menerapkan rumus tersebut pada kasus-kasus tersebut.

Bibiliografi

Calinger, Ronald (1999), A contextual history of Mathematics, Prentice-Hall, ISBN 0-02-318285-7
Cardano, Gerolamo (1545), Ars magna or The Rules of Algebra, Dover (dipublikasikan 1993), ISBN 0-486-67811-3
Gindikin, Simon (1988), Tales of physicists and mathematicians, Birkhäuser, ISBN 3-7643-3317-0

[1] Ini bukan berarti bahwa tidak ada persamana kubik yang muncul di Ars Magna karena $q^{2}/4+p^{3}/27<0$ . Sebagai contoh, bab I memuat persamaan $x^{3}+9=12x$ sehingga $q^{2}/4+p^{3}/27=-175/4$ . Namun, Cardano tidak pernah menerapkan rumus tersebut pada kasus-kasus tersebut.

[1]