Bilangan Skewes

Dalam teori bilangan, bilangan Skewes adalah bilangan besar yang digunakan oleh matematikawan asal Afrika Selatan bernama Stanley Skewes sebagai batas atas untuk bilangan asli $x$ yang terkecil, yang dinyatakan sebagai

$$\pi (x)>\operatorname {li} (x).$$

Disini, π adalah fungsi penghitung bilangan prima (prime-counting function) dan li adalah fungsi integral logaritmik.

Littlewood (1914) membuktikan bahwa bilangan tersebut ada (dan juga untuk bilangan yang pertama). Ia menemukan bahwa tanda dari selisih $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ berubah-ubah secara tak terhingga. Akan tetapi, buktinya tidak memperlihatkan bilangan $x$ yang konkret.

Skewes (1933) membuktikan bahwa, dengan mengasusmi hipotesis Riemann adalah benar, terdapat suatu bilangan $x$ yang tidak memenuhi pertidaksamaan $\pi (x)<\operatorname {li} (x)$, contohnya seperti

$$e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.$$

Tanpa mengasumsi hipotesis Riemann, Skewes (1955) membuktikan bahwa pastinya ada nilai $x$:

$$e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.$$

Referensi

• Littlewood, J. E. (1914), "Sur la distribution des nombres premiers", Comptes Rendus, 158: 1869–1872, JFM 45.0305.01 
• Skewes, S. (1933), "On the difference $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$", Journal of the London Mathematical Society, 8: 277–283, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.277, JFM 59.0370.02, Zbl 0007.34003 
• Skewes, S. (1955), "On the difference $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ (II)", Proceedings of the London Mathematical Society, 5: 48–70, doi:10.1112/plms/s3-5.1.48, MR 0067145