Aljabar Linier

Dalam ruang Euklides dimensi tiga, ketiga bidang pada gambar di atas mewakili penyelesaian persamaan linier, dan perpotongannya ketiganya mewakili himpunan penyelesaian gabungan: dalam hal ini, sebuah titik yang unik. Garis biru adalah penyelesaian gabungan ketika hanya memperhatikan gabungan dari dua persamaan linier.

Aljabar linier adalah bidang studi matematika yang mempelajari ruang vektor dan pemetaan linier (atau transformasi linier). Secara elementer, aljabar linier mempelajari teknik-teknik komputasional dalam menyelesaikan sistem persamaan linier seperti$$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,$$pemetaan linier seperti$$(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$$dan representasinya dalam ruang vektor maupun dengan matriks.

Aljabar linier berperan penting di hampir semua bidang matematika. Sebagai contoh, aljabar linier menjadi dasar dalam menjelaskan geometri secara modern, termasuk dalam mendefinisikan objek-objek dasar seperti garis, bidang, dan rotasi. Analisis fungsional, salah satu cabang matematika analisis, dapat dianggap sebagai penerapan aljabar linier dalam ruang fungsi.

Aljabar linier juga dipakai dalam banyak bidang ilmu dan bidang rekayasa, karena kemampuannya memodelkan banyak fenomena alam dan mencari solusi model tersebut dengan efisien. Pada sistem nonlinier, aljabar linier sering digunakan sebagai penghampiran linier (linear approximation), hal tersebut didasarkan pada fakta bahwa turunan dari fungsi multivariabel di suatu titik adalah transformasi linier yang terbaik dalam menghampiri nilai fungsi di sekitar titik tersebut.

Sejarah

Lihat pula: Determinan § Sejarah, dan Eliminasi Gauss § Sejarah

Menyelesaikan beberapa persamaan linier secara bersamaan menjadi bagian penting dalam aljabar linier. Prosedur dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang sekarang dikenal sebagai eliminasi Gauss, pertama kali muncul dalam Bab Delapan: Array Persegi Panjang di buku matematika Cina kuno Sembilan Bab dalam Seni Matematika. Buku ini mengilustrasikan 18 masalah, masing-masing melibatkan dua sampai lima persamaan.

Sistem persamaan linier berkembang di Eropa bersamaan dengan dikenalkannya konsep koordinat dalam geometri, oleh René Descartes pada tahun 1637. Faktanya, pada geometri yang sekarang dikenal sebagai geometri Kartesius ini, garis-garis dan bidang-bidang diwakilkan oleh persamaan linier, dan mendapatkan hasil perpotongan mereka sama dengan menyelesaikan sistem persamaan linier.

Pada perkembangan selanjutnya, determinan digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier secara sistematis. Metode ini pertama kali dipertimbangkan oleh Leibniz pada tahun 1693. Pada tahun 1750, Gabriel Cramer menggunakan determinan untuk menghasilkan solusi sistem linier secara eksplisit, menggunakan metode yang saat ini dikenal dengan aturan Cramer. Gauss nantinya juga menjelaskan lebih lanjut tentang metode eliminasi, yang awalnya dicatat sebagai sebuah kemajuan (advancement) dalam geodesi.

Pada tahun 1844, Hermann Grassmann memublikasikan "Theory of Extension" yang didalamnya meyertakan topik fundamental yang baru, saat ini dikenal sebagai aljabar linier. Pada tahun 1848, James Joseph Sylvester memperkenalkan istilah matrix. Aljabar linier tumbuh dengan konsep-konsep dari bidang kompleks. Sebagai contoh, dua bilangan kompleks $w$ dan $z$ memiliki selisih $w-z$ dan segmen garis ${\overline {wz}}$ dan ${\overline {0(w-z)}}$ memiliki panjang dan arah yang sama. Istilah vektor diperkenalkan untuk mewakili suatu titik $v=x{\text{i}}+y{\text{j}}+z{\text{k}}$ dalam ruang.

Arthur Cayley memperkenalkan perkalian matriks dan invers matriks pada tahun 1856. Cayley juga menggunakan satu huruf untuk menandai satu matriks, sehingga mengganggap matriks sebagai suatu gabungan dari banyak objek. Ia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Akan ada banyak hal untuk disampaikan tentang teori matriks ini yang, menurut saya, seharusnya mendahului teori determinan."

Publikasi A Treatise on Electricity and Magnetism pada tahun 1873 memulai ilmu teori medan tentang elektromagnetik, dan memerlukan geometri diferensial untuk mengekspresikan konsep-konsepnya. Aljabar linier merupakan geometri diferensial untuk bidang datar dan berperan pada ruang tangen manifold. Simetri elektromagnetik dari ruang waktu diekspresikan lewat transformasi Lorentz, dan banyak dari sejarah aljabar linier selanjutnya juga merupakan sejarah dari transformasi Lorentz.

Definisi yang lebih pasti dan modern mengenai ruang vektor diperkenalkan oleh Peano pada tahun 1888. Teori tentang transformasi linier ruang vektor dimensi hingga berkembang pada tahun 1900. Aljabar linier mendapatkan bentuk modernnya pada awal abad ke-20, ketika banyak ide dan konsep dari abad-abad sebelumnya berhasil diperumum menjadi aljabar abstrak. Perkembangan komputer memulai riset yang pesat dalam algoritma efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks; dan aljabar linier menjadi alat penting untuk pemodelan dan simulasi.

Ruang vektor

Artikel utama: Ruang vektor

Sampai pada abad ke-19, aljabar linier diperkenalkan lewat sistem persamaan linier dan matriks. Dalam matematika modern, perkenalan lewat ruang vektor lebih disukai karena sifatnya yang lebih umum (tidak terbatas pada kasus dimensi yang berhingga) dan lebih mudah secara konseptual, walaupun lebih abstrak.

Suatu ruang vektor atas medan F (umumnya berupa medan bilangan real atau bilangan kompleks) adalah suatu himpunan V yang dilengkapi oleh dua operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma pada daftar berikut. Elemen dari V disebut vektor, dan elemen dari F disebut skalar. Opersi yang pertama, penjumlahan vektor, menggunakan sembarang dua vektor v dan w dan menghasilkan vektor v + w. Operasi yang kedua, perkalian skalar, menggunakan sembarang skalar a dan sembarang vektor v dan menghasilkan vektor av. Dalam daftar berikut, u, v, dan w adalah sembarang vektor di V, dan a dan b adalah sembarang skalar di medan F.

Aksioma	Hal yang terjadi
Penjumlahan bersifat asosiasif	u + (v + w) = (u + v) + w
Penjumlahan bersifat komutatif	u + v = v + u
Penjumlahan memiliki elemen identitas	Ada suatu elemen 0 di V, disebut dengan vektor nol (terkadang cukup disebut nol), yang memenuhi v + 0 = v untuk setiap v di V.
Penjumlahan memiliki elemen invers	Untuk setiap v di V, ada elemen −v di V, disebut invers penjumlahan dari v, yang memenuhi v + (−v) = 0
Perkalian skalar bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor	a(u + v) = au + av
Perkalian skalar bersifat distributif terhadap penjumlahan pada medan	(a + b)v = av + bv
Perkalian skalar bersifat distributif terhadap perkalian pada medan	a(bv) = (ab)v
Perkalian skalar memiliki elemen invers	Untuk setiap v di V, berlaku hubungan 1v = v, dengan 1 menandakan identitas perkalian di F.

Empat aksioma yang pertama mengartikan bahwa V adalah suatu grup Abelian dalam penjumlahan.

Elemen dari suatu ruang vektor yang spesifik dapat berupa objek yang beragam. Sebagai contoh, elemen ini dapat berupa deret, fungsi, polinomial, atau matriks. Aljabar linear berfokus pada sifat-sifat objek tersebut yang sama dengan semua ruang vektor lainnya.

Peta linier

Artikel utama: Peta linear

Peta linier adalah pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan struktur dari ruang vektor. Diberikan dua ruang vektor V dan W atas medan F, suatu peta linier adalah pemetaan$$T:V\to W$$yang memenuhi perkalian dan penjumlahan skalar, dengan kata lain, memenuhi$$T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )$$Untuk sembarang vektor u,v di V dan skalar a di F. Hal ini mengakibatkan untuk sembarang vektor u, v di V dan skalar a, b di F, berlaku hubungan$$T(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )$$Ketika V = W, pemetaan linier $T:V\to V$ juga disebut sebagai operator linier di V. Peta linier yang bijektif antara dua ruang vektor, yakni yang memetakan setiap elemen di satu ruang vektor dengan tepat satu elemen di ruang vektor yang lain, disebut sebagai suatu isomorfisme. Karena isomorfisme mempertahankan struktur linier, dua ruang vektor yang isomorfik "pada dasarnya sama" dalam sudut pandang aljabar linier, dalam artian mereka berdua tidak dapat dibedakan dengan menggunakan sifat-sifat ruang vektor. Satu masalah penting dalam aljabar linier adalah menentukan apakah suatu peta linier bersifat isomorfik; dan jika tidak isomorfik, menentukan citra dan himpunan dari elemen-elemen yang dipetakan ke vektor nol, yang disebut sebagai kernel dari peta tersebut. Masalah-masalah ini dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss, atau variasinya.

Subruang, span, dan basis

Artikel utama: Subruang linear, Span (aljabar linear), dan Basis (aljabar linear)

Seperti banyak struktur matematika lainnya, mempelajari subhimpunan dari ruang vektor yang juga berupa ruang vektor akibat suatu operasi adalah hal yang penting. Subhimpunan ini disebut dengan subruang vektor. Secara formal, suatu subruang vektor dari ruang vektor V atas medan F adalah suatu subhimpunan W dari V yang memenuhi u + v dan au berada di dalam W, untuk setiap u, v di W, dan setiap a di F. (Definisi tersebut cukup untuk menyimpulkan bahwa W adalah suatu ruang vektor.) Sebagai contoh, untuk pemetaan linier $T:V\to W$, citra T(V) dari V, dan invers dari citra T⁻¹(0) dari 0 (dikenal sebagai kernel atau ruang nol), masing-masing adalah subruang vektor dari W dan V.

Cara penting yang lain untuk membentuk suatu subruang adalah dengan menggunakan kombinasi linier vektor-vektor dari himpunan S. Cara ini menghasilkan himpunan berisi vektor-vektor dengan bentuk $$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},$$dengan v₁, v₂, ..., v_k berada di S, dan a₁, a₂, ..., a_k berada di F. Himpunan tersebut membentuk subruang vektor yang disebut span dari S. Span dari S juga merupakan irisan dari semua subruang vektor yang mengandung S. Dengan kata lain, span ini adalah subruang vektor terkecil (pada relasi subhimpunan) yang mengandung S.

Suatu himpunan vektor dikatakan saling bebas linier jika tidak ada vektor yang berada di span vektor-vektor yang lain. Secara ekuivalen, suatu himpunan vektor-vektor S saling bebas linier jika satu-satunya cara menyatakan vektor nol sebagai kombinasi linier vektor-vektor di S adalah dengan memilih 0 untuk setiap koefien $a_{i}.$

Suatu himpunan vektor yang menjadi merentang (span) suatu ruang vektor disebut himpunan span. Jika himpunan span S bergantung linier (yakni tidak bebas linier), maka ada vektor w di S yang berada di span vektor-vektor S yang lain, dan span dari S tidak akan berubah walau w dibuang. Langkah membuang vektor ini dapat diulangi sampai semua elemen S bebas linier. Himpunan span yang saling bebas linear yang merentang suatu ruang vektor V disebut sebagai suatu basis bagi V. Basis memiliki keunikan karena ia adalah himpunan span dari V yang terkecil sekaligus himpunan terbesar yang mengandung vektor-vektor di V. Secara lebih formal, jika S adalah himpunan yang bebas linier, dan T adalah himpunan span dengan $S\subseteq T,$ maka ada suatu basis B sedemikian rupa sehingga $S\subseteq B\subseteq T.$

Ruang vektor V dapat memiliki beberapa basis berbeda. Sembarang dua basis dari V memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari V. Lebih lanjut, dua ruang vektor atas medan F yang sama saling isomorfik jika dan hanya jika kedua raung vektor tersebut memiliki dimensi yang sama. Jika salah satu basis bagi V (dan akibatnya semua basis) memiliki banyak elemen yang berhingga, V disebut ruang vektor dimensi berhingga. Jika U adalah subruang dari V, maka dim U ≤ dim V. Pada kasus ketika V berdimensi hingga, persamaan dari pernyataan tersebut terjadi ketika U = V.

Jika U₁ dan U₂ adalah subruang dari V, maka

$\dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),$

dengan $U_{1}+U_{2}$ menyatakan span dari $U_{1}\cup U_{2}.$

Matriks

Artikel utama: Matriks (matematika)

Matriks memungkinkan manipulasi ruang vektor berdimensi hingga dan peta linier secara eksplisit. Teori tentang matriks selanjutnya menjadi bagian penting dalam aljabar linier.

Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi hingga atas medan F, dan (v₁, v₂, ..., v_m) menjadi basis bagi V (sehingga m adalah dimensi dari V). Dengan menggunakan definisi basis, pemetaan$${\begin{aligned}(a_{1},\ldots ,a_{m})&\mapsto a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots a_{m}\mathbf {v} _{m}\\F^{m}&\to V\end{aligned}}$$

adalah suatu bijeksi dari $F^{m},$ yakni himpunan berisi barisan m elemen yang diambil dari F, ke V. Ini adalah suatu isomorfisme ruang vektor, jika $F^{m}$ dilengkapi oleh struktur ruang vektor yang standarnya, yakni dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar dilakukan komponen demi komponen. Isomorfisme ini memungkinan untuk merepresentasikan suatu vektor di V dengan menggunakan vektor koordinat $(a_{1},\ldots ,a_{m})$ atau dengan vektor$${\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{bmatrix}}.$$Selanjutnya, jika W adalah ruang vektor dimensi hingga yang lain (atau mungkin yang sama), dengan basis $(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}),$ suatu peta linier f dari W ke V terdefinisi jelas (well defined) lewat nilai-nilai fungsi pada elemen-elemen basisnya, yakni $(f(\mathbf {w} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {w} _{n})).$ Sehingga, jika$$f(\mathbf {w} _{j})=a_{1,j}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{m,j}\mathbf {v} _{m},$$untuk j = 1, ..., n, maka f dapat dinyatakan sebagai matriks dengan m baris dan n kolom$${\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}.$$Perkalian matriks didefinisikan sedemikian rupa sehingga hasil perkalian yang didapat merepresentasikan komposisi peta-peta linear dari matriks-matriks yang bersesuaian. Sedangkan perkalian matriks dengan vektor (matriks kolom) merepresentasikan hasil dari melakukan pemetaan linear kepada vektor tersebut. Dari diskusi ini disimpulkan bahwa teori ruang vektor berdimensi hingga dan teori matriks adalah dua bahasa berbeda untuk mengekspresikan satu konsep yang sama.

Dua matriks yang mewakili pemetaan linier yang sama tapi dalam basis yang berbeda disebut matriks yang serupa. Dapat ditunjukkan bahwa dua matriks serupa jika dan hanya jika satu matriks dapat diubah menjadi matriks yang lainnya hanya dengan melakukan operasi-operasi matriks elementer. Untuk suatu matriks yang mewakili pemetaan linier dari W ke V, operasi baris elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di V sedangkan operasi kolom elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di W. Setiap matriks serupa dengan matriks identitas dengan mungkin tambahan beberapa kolom nol dan/atau baris nol. Dalam bahasa ruang vektor, ini mengartikan untuk semua pemetaan linier dari W ke V, ada basis sehingga sebagian basis di W dipetakan secara bijektif menjadi bagian dari basis V, sedangkan sisa basis W yang lain, jika ada, akan dipetakan ke vektor nol. Eliminasi Gauss adalah algoritma dasar untuk menentukan operasi-operasi elementer yang diperlukan, dan membuktikan hasil-hasil pada diskusi ini.

Sistem persamaan linier

Artikel utama: Sistem persamaan linear

Sebuah himpunan berhingga berisi persamaan-persamaan linier, masing-masing dengan berhingga banyaknya variabel, contohnya x₁, x₂, ..., x_n atau x, y, ..., z, disebut sebagai sistem persamaan linier.

Sistem persamaan linier membentuk bagian penting dalam aljabar linier. Dari sisi sejarah, aljabar linier dan teori matriks dikembangkan untuk menyelesaikan sistem tersebut. Dalam perkembangan modern saat ini, dimana aljabar linier dinyatakan lewat ruang vektor dan matriks, banyak masalah dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan linier. Sebagai contoh, misalkan

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3\end{alignedat}}$

(S)

adalah sistem persamaan linier yang menyatakan suatu masalah. Sistem persamaan linier tersebut dapat diasosiasikan dengan matriks$$M=\left[{\begin{array}{rrr}2&1&-1\\-3&-1&2\\-2&1&2\end{array}}\right]$$yang berisi semua koefisien di ruas kiri, dan vektor $$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}8\\-11\\-3\end{bmatrix}}$$yang berisi semua nilai di ruas kanan. Misalkan juga T adalah pemetaan linier yang berasosiasi dengan matriks M. Suatu penyelesaian dari sistem (S) adalah vektor $$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$$yang memenuhi

$T(\mathbf {X} )=\mathbf {v} ,$

yakni sebuah elemen yang menjadi pracitra dari v oleh pemetaan T.

Misalkan (S′) adalah sistem homogen yang berasosiasi dengan (S), yakni sistem persamaan linier dengan semua nilai pada ruas kanan sama dengan nol:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\end{alignedat}}$

(S′)

Himpunan penyelesaian dari (S′) adalah elemen-elemen dari kernel T, atau secara ekuivalen, kernel dari M.

Solusi dari sistem persamamaan linier dapat ditemukan dengan melakukan proses eliminasi Gauss-Jordan pada matriks gabungan $$\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right].$$ Pross eliminasi ini adalah serangkaian operasi baris dasar yang mengubah matriks ke dalam bentuk eselon baris tereduksi. Pada contoh ini, bentuk eselon baris tereduksi-nya adalah $$\left[\!{\begin{array}{c|c}M&\mathbf {v} \end{array}}\!\right]=\left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right],$$ menunjukkan bahwa sistem (S) memiliki solusi unik$${\begin{aligned}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{aligned}}$$Interpretasi matriks dari sistem persamaan linier juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan operasi-operasi matriks dan pemetaan linier lainnya, seperti menghitung rank, kernel, dan invers matriks.

Endomorfisme dan matriks persegi

Artikel utama: Matriks persegi

Sebuah endomorfisme linier adalah peta linier yang memetakan suatu ruang vektor V ke dirinya sendiri. Jika V memiliki basis berisi n elemen, endomorfisme tersebut dapat dinyatakan oleh sebuah matriks persegi berukuran $n\times n$. Berhubungan dengan pemetaan linier secara umum, endomorfisme linier dan matriks persegi memiliki beberapa sifat khusus yang membuat mereka memainkan peran penting dalam aljabar linier.

Determinan

Artikel utama: Determinan

Determinan dari suatu matriks persegi A didefinisikan sebagai

$\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},$

dengan S_n adalah grup dari semua permutasi n elemen, σ adalah sebuah permutasi, dan (−1)^σ adalah paritas dari permutasi. Sebuah matriks disebut terbalikkan (invertible) jika dan hanya jika nilai determinannya dapat dibalik (diinvers), dengan kata lain, nilainya tidak sama dengan nol.

Kaidah Cramer adalah rumus yang dinyatakan dalam bentuk determinan, dan dapat digunakan untuk mencari solusi sistem linear dengan n persamaan dan n variabel. Kaidah Cramer berguna untuk menjelaskan solusi yang ditemukan, tetapi kecuali untuk n = 2 atau 3, kaidah tersebut jarang digunakan untuk mencari solusi. Algoritma yang lebih cepat untuk mencari penyelesaian adalah eliminasi Gauss.

Nilai eigen dan vektor eigen

Artikel utama: Nilai dan vektor eigen

Jika f adalah endomorfisme linier dari suatu ruang vektor V atas suatu medan F, vektor eigen dari f adalah vektor tak-nol v di V sedemikian rupa sehingga f(v) = av untuk suatu skalar a di F. Skalar a ini disebut sebagai nilai eigen dari f.

Jika dimensi dari V hingga, dan sebuah basis telah dipilih, f dan v dapat direpresentasikan masing-masing oleh sebuah matriks persegi M dan sebuah matriks kolom z; Persamaan yang mendefinisikan vektor eigen dan nilai eigen selanjutnya dapat ditulis ulang sebagai $Mz=az.$

Menggunakan matriks identitas I, matriks dengan semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan semua elemen lainnya bernilai 0, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai $(M-aI)z=0.$

Karena z bukan vektor nol, ekspresi M – aI menyatakan suatu matriks singular yang nilai determinannya, det (M − aI), sama dengan nol.

Daftar pustaka

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (Edisi 5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Axler, Sheldon (2015), Linear Algebra Done Right, Undergraduate Texts in Mathematics (Edisi 3rd), Springer Publishing, ISBN 978-3-319-11079-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (Edisi 5th), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (Edisi 3rd), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Halmos, Paul Richard (1974), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics (Edisi 1958 2nd), Springer Publishing, ISBN 0-387-90093-4, OCLC 1251216
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
• Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008), A (Terse) Introduction to Linear Algebra, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4419-9
• Roman, Steven (March 22, 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Edisi 2nd), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3