1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika,

adalah deret divergen, pertama kali dianggap oleh Euler, yang menjumlahkan faktorial dari bilangan asli dengan tanda bolak-balik. Meskipun berbeda, itu dapat diberi nilai sekitar 0,596347 oleh penjumlahan Borel.

Penjumlahan Euler dan Borel[sunting | sunting sumber]

Seri ini pertama kali dipertimbangkan oleh Euler, yang menerapkan metode penjumlahan untuk menetapkan nilai hingga ke rangkaian.[1] Deret adalah jumlah faktorial yang dapat ditambahkan atau dikurangi secara bergantian. Salah satu cara untuk menetapkan nilai ke deret divergen ini adalah dengan menggunakan penjumlahan Borel, di mana seseorang secara resmi menulis

Bila penjumlahan dan integrasi dipertukarkan (mengabaikan bahwa tidak ada sisi yang bertemu), seseorang memperoleh:

Penjumlahan di dalam tanda kurung siku bertemu saat , dan untuk nilai-nilai itu sama . Kelanjutan analitik dari untuk semua bilangan asli mengarah ke integral konvergen untuk penjumlahan:

dimana E1(z) adalah integral eksponensial. Ini adalah definisi jumlah Borel dari deret.

Koneksi ke persamaan diferensial[sunting | sunting sumber]

Pertimbangkan sistem gabungan persamaan diferensial

di mana titik menunjukkan turunan yang berkaitan dengan t.

Solusi dengan kesetimbangan stabil pada (x,y) = (0,0) as t → ∞ memiliki y(t) = 1t, dan menggantikannya dengan persamaan pertama menghasilkan solusi deret formal

Perhatikan x(1) tepatnya adalah deret Euler.

Di sisi lain, sistem persamaan diferensial memiliki solusi

Dengan diintegrasikan dengan bagian, deret pangkat formal dipulihkan sebagai pendekatan asimtotik untuk ekspresi ini x(t). Euler berpendapat (kurang lebih) bahwa karena deret formal dan integral keduanya menggambarkan solusi yang sama untuk persamaan diferensial, mereka harus sama satu sama lain , memberi

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Euler, L. (1760). "De seriebus divergentibus" [On divergent series]. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (5): 205–237. arXiv:1202.1506alt=Dapat diakses gratis. Bibcode:2012arXiv1202.1506E.