Segitiga Pascal

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari



\begin{matrix}
&&&&&1\\
&&&&1&&1\\
&&&1&&2&&1\\
&&1&&3&&3&&1\\
&1&&4&&6&&4&&1
\end{matrix}

Lima barisan pertama pada segitiga Pascal

Dalam matematika, segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada koefisien binomial dalam sebuah segitiga. Ia dinamakan sempena Blaise Pascal dalam kebanyakan dunia barat, meskipun ahli matematika lain telah mengkajinya berabad-abad sebelum dia di India, Persia, Cina, dan Italia. Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomor-nomor dalam barisan ganjil biasanya diatur agar terkait dengan nomor-nomor dalam baris genap. Konstruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol, hanya tulis nomor 1. Kemudian, untuk membangun unsur-unsur barisan berikutnya, tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara langsung di atas dan di kanan untuk menemukan nilai baru. Jika nomor di kanan atau kiri tidak ada, gantikan suatu kosong pada tempatnya. Misalnya, nomor satu di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mana nomor 1 dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan nomor 4 dalam barisan keempat.

Setiap nomor dalam segitiga adalah jumlah dua secara terus dengan yang di atas.

Pembinaan ini terkait dengan koefisien binomial oleh Peraturan Pascal, yang menyatakan bahwa jika

 {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

adalah koefisien binomial ke-'k dalam pengembangan binomial pada (x + y)n, di mana n! adalah faktorial n, oleh itu

 {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}

untuk setiap bilangan bulat bukan negatif n dan mana-mana bilangan bulat k di antara 0 dan n.[1]

Segitiga Pascal memiliki pengitlakan dimensi lebih tinggi. Versi tiga-dimensi disebut Piramida Pascal atau Pascal 's tetrahedron, sedangkan versi umum disebut simpleks Pascal - ini lihat piramida, tetrahedron dan simpleks.

Segi tiganya[sunting | sunting sumber]

Di bawah adalah barisan kosong ke enam belas pada segitiga Pascal:

                                                1
                                             1     1
                                          1     2     1
                                       1     3     3     1
                                    1     4     6     4     1
                                 1     5    10    10     5     1
                              1     6    15    20    15     6     1
                           1     7    21    35    35    21     7     1
                        1     8    28    56    70    56    28     8     1
                     1     9    36    84    126   126   84    36     9     1
                  1    10    45    120   210   252   210   120   45    10     1
               1    11    55    165   330   462   462   330   165   55    11     1
            1    12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12     1
         1    13    78    286   715  1287  1716  1716  1287   715   286   78    13     1
      1    14    91    364  1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364   91    14     1
   1    15    105  455   1365  3003  5005  6435  6435  5005  3003  1365   455   105   15     1
1    16    120   560  1820  4368  8008  11440 12870 11440 8008  4368  1820   560   120  16     1

Segi tiga Pascal dan pengembangan binomial[sunting | sunting sumber]

Segi tiga Pascal menentukan koefisien yang menambahkan dalam pengembangan binomial. Misalnya, timbangkan pengembangan berikutnya.

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2.

Perhatikan bahwa koefisien adalah angka dalam baris kedua segitiga Pascal: 1, 2, 1. Pada umumnya, ketika sebuah binomial seperti x + y ditambahkan ke suatu bilangan bulat positif kita mendapat:

(x + y)n = a0xn + a1xn−1y + a2xn−2y2 + … + an−1xyn−1 + anyn,

yaitu koefisien ai dalam pengembangan ini adalah tepatnya bilangan dalam baris n segitiga Pascal '. maknanya,

a_i = {n \choose i}.

Ini adalah teorema binomial.

Perhatikan bahwa keseluruhan diagonal kanan segitiga Pascal berhubungan dengan koefisien yn dalam pengembangan binomial ini, sedangkan diagonal berikutnya berhubungan dengan koefisien xyn-1 dan sebagainya.

Untuk melihat bagaimana teorema binomial terkait dengan konstruksi sederhana segitiga Pascal, pertimbangkan masalah perhitungan koefisien pengembangan (x + 1)n+1 dari segi koefisien yang berhubungan (x + 1)n (letakkan y = 1 untuk lebih mudah). Anggap setelah itu bahwa

(x+1)^n=\sum_{i=0}^n a_i x^i.

Sekarang

 (x+1)^{n+1} = (x+1)(x+1)^n = x(x+1)^n + (x+1)^n = \sum_{i=0}^n a_i x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i.

Dua penjumlahan dapat diatur kembali sebagai berikut:


\begin{align}
& \sum_{i=0}^{n  } a_{i  } x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i \\
& {} = \sum_{i=1}^{n+1} a_{i-1} x^{i  } + \sum_{i=0}^n a_i x^i \\
& {} = \sum_{i=1}^{n  } a_{i-1} x^{i  } + \sum_{i=1}^n a_i x^i + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} \\
& {} = \sum_{i=1}^{n  } (a_{i-1} + a_i)x^{i  } + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} \\
& {} = \sum_{i=1}^{n  } (a_{i-1} + a_i)x^{i  } + x^0 + x^{n+1}
\end{align}

(karena cara penambahan suatu polinomial ke suatu kekuasaan berhasil, a0 = an = 1).

Kita sekarang memiliki pernyataan untuk polinomial (x + 1)n+1 dari segi koefisien (x + 1)n (ini adalah ais), yaitu kita perlu jika ingin menyatakan suatu baris dari kiri-atas ke kanan-bawah berkoresponden dengan energi yang sama x, dan bahwa jangka-a adalah koefisien polinomial (x + 1)n, dan kita menentukan koefisien (x + 1)n+1. sekarang, untuk mana-mana i diberikan bukan 0 atau n + 1, pekali jangka xi dalam polinomial (x + 1)n+1 adalah bersamaan dengan ai (tokoh di atas dan di kanan tokoh untuk ditentukan, sejak ia adalah pada pepenjuru yang sama) + ai−1 (tokoh di kanan secara terus pada tokoh pertama). Ini sudah tentu peraturan mudah untuk pembinaan segitiga Pascal baris-demi-baris.

Adalah tidak susah untuk mengitarkan perdebatan ini ke dalam bukti (oleh induksi matematik) pada teorem binomial.

Suatu akibat menarik pada teorem binomial didapatkan dengan memuatkan dua jenis x dan y bersamaan dengan satu. Dalam kes ini, kita tahu bahawa  (1+1)^n = 2^n , dan oleh itu

 {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n.

Maknanya, jumlah kemasukan pada baris ke-n pada segitiga Pascal adalah tenaga ke-n pada 2.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Pekali binomial \scriptstyle {n \choose k} adalah secara kebiasaan diletakkan kosong jika k sama ada kurang daripada kosong atau lebih besar daripada n.