Metode Jacobi

Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman,Carl Gustav Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.

Kalau kita mengubah dalam Sistem Persamaan Linear, maka dapat ditulis sebagai berikut

$A x = b.\,$

Kemudian, diketahui bahwa $A = D+\left({L + U} \right)$, di mana $D$ merupakan matriks diagonal, $L$ merupakan matriks segitiga bawah, dan $U$ merupakan matriks segitiga atas.

Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi :

$D x+\left({L + U} \right)x = b.$

Kemudian,

$x = D^{ - 1} \left[b -\left({L + U} \right)x \right],$

Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai :

$x^{(k+1)} = D^{ - 1} \left[b-\left({L + U} \right)x^{(k)}\right],$

di mana $k$ merupakan banyaknya iterasi. Jika $x^{(k)}$ menyatakan hampiran ke- $k$ penyelesaian SPL, maka $x^{(0)}$ adalah hampiran awal.

$x^{(k)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}x^{(k-1)}_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.$

Algoritma Metode Iterasi Jacobi

INPUT :

$n$, A, b, dan hampiran awal Y=(y₁ y₂ y₃...y_n)^T , batas toleransi T, dan maksimum iterasi N

OUTPUT :

X=(x₁ x₂ x₃...x_n)^T, vektor galat hampiran $g$, dan $H$ yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.

1. Set penghitung iterasi k=1
2. WHILE $k<=N$ DO
   1. FOR $i = 1,2,3,...,n$, Hitung $x_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}y_j\right)$
   2. SET $X=(x_1 x_2 x_3...x_n)^T$
   3. IF ||X_Y||<T THEN STOP
   4. Tambah penghitung iterasi, $k=k+1$
   5. FOR $i=1,2,3,...,n$, Set y_i=x_i
   6. SET Y=(y₁ y₂ y₃...y_n)^T
3. Tulis pesan "Metode gagal setelah N iterasi"
4. STOP

Algoritma Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk software Matlab

Penggunaan algoritma Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk matlab. Matlab merupakan program pengolahan data numerik.

INPUT :

$n$, A, b, dan hampiran awal Y=(y₁ y₂ y₃...y_n)^T , batas toleransi T, dan maksimum iterasi N

OUTPUT :

X=(x₁ x₂ x₃...x_n)^T, vektor galat hampiran $g$, dan $H$ yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.

H=X0'

n=length (b)

X=X0

for k:=1 until N

for i:=i until n,

S = b (i) - A (i,[1:i-1,i+1:n]) * X0 (1:i-1,i+1:n](

X(i) = S / A (i,i)

end

g = abs (X-X0)

err = norm (g)

relerr = err / (norm (X)+eps)

X0 = X

H = [H;X0']

if (err<T)|(relerr<T), break, end

end

Kekonvergenan

MEtode ini akan bernilai konvergen jika matriksnya merupakan matriks dominan secara diagonal, yaitu apabila unsur diagonal pada kolom tersebut lebih besar dari penjumlahan unsur-unsur lainnya pada kolom tersebut.

$\left | a_{ii} \right | > \sum_{i \ne j} {\left | a_{ij} \right |}.$

Referensi

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta