Eliminasi Gauss-Jordan

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah algoritma versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.

Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan.

Aplikasi untuk mencari Invers

Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks:

$[ A I ] \Longrightarrow A^{-1} [ A I ] \Longrightarrow [ I A^{-1} ]$

Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:

$[ A I ] = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Eliminasi Gauss-Jordan pada $[ A I ]$ menghasilkan bentuk yang tereduksi:

$[ I A^{-1} ] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{bmatrix}.$

Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks $[ A I ]$ sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\qquad A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{bmatrix}$

Referensi

• Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.
• Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd edition, Wellesley, Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, 74-76.
• Sahid. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. 2005. Yogyakarta:ANDI