Bilangan transfinit

Bilangan transfinit atau bilangan lintas hingga (Inggris: Transfinite numbers) adalah bilangan yang "tak hingga" dalam artian bilangan yang lebih besar dari semua himpunan hingga, tetapi tidak harus merupakan tak hingga mutlak. Istilah transfinit diperkenalkan oleh Georg Cantor, yang ingin menghindari sejumlah implikasi kata "tak hingga" dalam hubungan dengan objek-objek yang bagaimanapun bukan "terhingga". Hanya sedikit penulis kontemporer yang setuju pemikiran ini. Penggunaan yang diterima sekarang adalah rujukan "transfinit" untuk "bilangan kardinal" sedangkan "tak hingga" untuk bilangan ordinal. Namun, istilah "transfinit" masih tetap dipakai.

Definisi

Sebagaimana bilangan terhingga, ada dua cara untuk membayangkan bilangan-bilangan transfinit, yaitu sebagai bilangan ordinal atau sebagai bilangan kardinal. Bukan seperti ordinal finit dan kardinal finit, ordinal transfinit dan kardinal transfinit mendefinisikan kelas-kelas bilangan yang berbeda.

• ω (omega) didefinisikan sebagai bilangan ordinal transfinit terkecil dan merupakan jenis order bilangan asli menurut urutan linear biasa.
• Alef-nol, $\scriptstyle {\aleph _{0}}$, didefinisikan sebagai bilangan kardinal transfinit pertama dan merupakan kardinalitas himpunan tak terhingga dari bilangan asli. Jika aksioma pilihan tetap berlaku, bilangan kardinal yang lebih besar berikutnya adalah "alef-satu", $\scriptstyle {\aleph _{1}}$. Jika tidak, mungkin saja ada bilangan kardinal lain yang tidak dapat dibandingkan dengan alef-satu dan lebih besar daripada alef-nol. Namun dalam kasus apapun, tidak ada bilangan kardinal antara alef-nol dan alef-satu.

Hipotesis continuum menyatakan bahwa tidak ada bilangan kardinal intermediate di antara alef-nol dan kardinalitas continuum (himpunan bilangan real): dengan kata lain, alef-satu adalah kardinalitas himpunan bilangan real. (Jika teori himpunan Zermelo–Fraenkel (ZFC) konsisten, maka baik hipotesis continuum maupun negasinya tidak dapat dibuktikan dari ZFC.)

Sejumlah penulis, termasuk P. Suppes dan J. Rubin, menggunakan istilah transfinite cardinal untuk merujuk kepada kardinalitas suatu "himpunan tak terhingga Dedekind", dalam konteks di mana ini mungkin tidak ekuivalen dengan "infinite cardinal"; yaitu dalam konteks di mana aksioma pilihan terhitung tidak diasumsikan atau tidak diketahui tetap. Berdasarkan definisi ini, hal-hal berikut adalah ekuivalen:

• m adalah kardinal transfinit. Artinya, ada himpunan tak terhingga Dedekind A sedemikian sehingga kardinalitas A adalah m.
• m + 1 = m.
• $\scriptstyle {\aleph _{0}}$ ≤ m.
• ada bilangan kardinal n sedemikian sehingga $\scriptstyle {\aleph _{0}}$ + n = m.

Lihat pula

• Absolutely infinite
• Bilangan alef
• Bilangan beth
• Bilangan kardinal
• Bilangan ordinal
• Georg Cantor
• Inaccessible cardinal
• Infinity plus one

• Infinitesimal
• Large cardinal
• Large countable ordinal
• Limit ordinal
• Kardinal Mahlo
• Kardinal terukur
• Aritmetika ordinal
• Transfinite induction

Pustaka tambahan

• Levy, Azriel, 2002 (1978) Basic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
• O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor," MacTutor History of Mathematics archive.
• Rubin, Jean E., 1967. "Set Theory for the Mathematician". San Francisco: Holden-Day. Grounded in Morse-Kelley set theory.
• Rudy Rucker, 2005 (1982) Infinity and the Mind. Princeton Univ. Press. Primarily an exploration of the philosophical implications of Cantor's paradise. ISBN 978-0-691-00172-2.
• Patrick Suppes, 1972 (1960) "Axiomatic Set Theory". Dover. ISBN 0-486-61630-4. Grounded in ZFC.