Bikuaternion

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Bikuaternion (atau kuaternion ganda) adalah bilangan hiperkompleks dan merupakan suatu kuaternion w + xi + yj + zk \ \! di mana variabelnya w, x, y, dan z adalah bilangan kompleks. Perkalian elemen dasar bikuaternion {i, i, j, k} sama dengan perkalian elemen dasar kuaternion berbilangan cacah (bilangan riil). Karena ada terdapat 3 jenis bilangan kompleks, maka begitu pula dengan bikuaternion, yaitu:

  • Bikuaternion dengan bilangan kompleks biasa
  • Bikuaternion hiperbolik dengan bilangan kompleks hiperbolik (split-complex biquaternion)
  • Bikuaternion rangkap dengan bilangan rangkap (dual quaternion).

Sesuai dengan aturan aljabar abstrak, ketiga-tiga jenis bikuaternion ini memiliki definisi aritmetis yang sama, dan hanya definisi aritmetis variabelnya yang berbeda.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Definisi bikuaternion q = u(1) + vi + wj + xk \ \! adalah

di mana: {1, i, j, k}\ \! adalah elemen-elemen kuaternion u, v, w, x\ \! adalah variabel kompleks.

Dan juga, unit imaginer di bilangan-bilangan kompleks ini tidak dituliskan dengan huruf i, melainkan dengan huruf h, karena huruf i digunakan untuk melambangkan elemen kedua himpunan kuaternion.

Contoh:


\begin{align}
u = 5.0 + 3.2h \\
v = 7.1 + 0.6h \\
w = 4.8 + 1.9h \\
x = 6.7 + 2.2h \\
\end{align}

Jika

q = u(1) + vi + wj + xk \ \!,

maka

q = (5.0+3.2h) + (7.1+0.6h)i + (4.8+1.9h)j + (6.7+2.2h)k \ \!.

Bentuk matriks[sunting | sunting sumber]

Bikuaternion q = u(1) + vi + wj + xk \ \! bisa dituliskan dalam bentuk matriks kompleks 2x2:

\begin{bmatrix}u+hv & w+hx \\ -w+hx & u-hv \end{bmatrix}.

Contoh: Jika


\begin{align}
u = 5.0 + 3.2h \\
v = 7.1 + 0.6h \\
w = 4.8 + 1.9h \\
x = 6.7 + 2.2h \\
\end{align}

maka

=\begin{bmatrix}
 (5.0+3.2h) + h(7.1+0.6h) & (4.8+1.9h) + h(6.7+2.2h) \\
-(4.8+1.9h) + h(6.7+2.2h) & (5.0+3.2h) - h(7.1+0.6h) \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
 5.0 + 3.2h - 0.6 + 7.1h & 4.8 + 1.9h - 2.2 + 6.7h \\
-4.8 - 1.9h - 2.2 + 6.7h & 5.0 + 3.2h + 0.6 - 7.1h \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
 4.4+10.3h & 2.6+8.6h \\
-7.0+4.8h  & 5.6-3.9h \end{bmatrix}.


Konjugat[sunting | sunting sumber]

Bikuaternion memiliki 2 jenis konjugat, yaitu:

  • bikonjugat (ataupun biskalar minus bivektor): q^* = w - xi - yj - zk \!\ ,
  • konjugat kompleks dari koefisien bikuaternion: q^{\star} = w^{\star} + x^{\star} i + y^{\star} j + z^{\star} k \!.

di mana:

x^{\star} = a - bh dan x = a + bh,\quad a,b \in R,\quad h^2 = -1
y^{\star} = a - bh dan y = a + bh,\quad a,b \in R,\quad h^2 = -1
z^{\star} = a - bh dan z = a + bh,\quad a,b \in R,\quad h^2 = -1.

Selanjutnya:

\begin{align}
(pq)^* = q^* p^*, \\
(pq)^{\star} = p^{\star} q^{\star} \\
(q^*)^{\star} = (q^{\star})^*\end{align}

Lihat juga[sunting | sunting sumber]