Barisan polinomial

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Barisan Polinomial adalah barisan bilangan[1] yang dibentuk dari fungsi polinom [2] variabel tunggal dengan domain fungsi bilangan asli.

Beberapa peristiwa dapat memberikan data yang menggambarkan keberadaan barisan ini, misalnya data banyaknya jabat tangan yang terjadi pada sekelompok orang. Jumlah orang dalam kelompok sebagai urutan suku dan jumlah jabatan tangan dari mereka adalah nilai sukunya. Sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk:

  • Jika ada 1 orang dalam kelompok maka tidak ada jabatan tangan
  • Jika ada 2 orang dalam kelompok maka hanya ada 1 jabatan tangan
  • Jika ada 3 orang dalam kelompok maka ada 3 jabatan tangan
  • Jika ada 4 orang dalam kelompok maka ada 6 jabatan tangan
  • dan seterusnya

Rangkaian bilangan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk barisan: 0, 1, 3, 6, ... . Tentu akan menyulitkan kita jika ingin melihat jumlah jabatan tangan pada kelompok yang anggotanya 201 orang. Untuk itu seringkali kita berusaha mencari bentuk umum dari barisan tersebut, dan benar bahwa pada barisan tersebut apabila jumlah n orang dalam kelompok secara umum terdapat   \frac{n^2 - n}{2}   atau   U_n = \frac{1}{2} n^2 - \frac{1}{2} n   jabatan tangan yang menunjukkan barisan tersebut berupa barisan polinom.

Proses pencarian kemungkinan bentuk umum peristiwa di atas sering dipakai konsep kombinasi, tetapi ternyata prinsip-prinsip keistimewaan barisan polinom dengan menggunakan operasi aritmatika sederhana dari operasi pengurangan, penjumlahan, perkalian dan pembagian, juga dapat dimanfaatkan.

Membuat Barisan Polinom[sunting | sunting sumber]

Jika f sebuah fungsi polinom variabel tunggal maka barisan polinom yang dibangun dari fungsi f tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk,

f(1) , f(2) , f(3) , .... , f(n) , ....

mempunyai arti:

suku ke 1 = U1 = f(1)

suku ke 2 = U2 = f(2)

suku ke 3 = U3 = f(3)

.......................

suku ke n = Un = f(n)
Barisan bilangan 0, 1, 3, 6, ... dapat diartikan, U1 = 0 , U2 = 1, U3 = 3, U4 = 6, .... ,   U_n = \frac{1}{2} n^2 - \frac{1}{2} n   atau barisan tersebut dibangkitkan oleh fungsi polinom   f(n) = \frac{1}{2} n^2 - \frac{1}{2} n  berupa fungsi berderajat 2

Derajat polinom adalah pangkat tertinggi dari variabel fungsi polinom.

Untuk i, ai berupa bilangan cacah,

 f(n) = a_i n^i + a_{i-1} n^{i-1} + \cdots + a_2 n^2 + a_1 n + a_0 =\sum\limits_{k=0}^{i}a_k n^k.

maka fungsi f(n) mempunyai derajat i pada suku polinom aini

Menggali Keistimewaan Barisan Polinom[sunting | sunting sumber]

Dalam menggali keistimewaan barisan polinom kita mencoba membentuk beberapa pengertian sebagai jembatan untuk memperoleh beberapa keistimewaan tersebut.

Pengurangan Suku Barisan[sunting | sunting sumber]

Pengurangan Suku Barisan adalah hasil pengurangan suku barisan tertentu dengan suku sebelumnya. Sehingga pengurangan suku bisa dilakukan mulai suke ke dua.

Jika Un merupakan rumus umum suku suatu barisan maka secara umum pengurangan suku dari barisan tersebut adalah Un+1 - Un.

Barisan Pengurangan Suku Barisan[sunting | sunting sumber]

Barisan Pengurangan Suku adalah barisan bilangan disusun dari pengurangan suku barisan suatu barisan.

Untuk mempermudah penulisan kita membuat simbol U[i] untuk suku barisan pengurangan suku ke i.

Misalnya Un suatu barisan maka barisan ini bukan barisan pengurangan suku dan khusus untuk ini kita sepakati sebagai U[0]. Selanjutnya untuk n > 0,

U[1] merupakan barisan pengurangan suku utama atau dari U sehingga Un[1] = Un+1 - Un

U[2] merupakan barisan pengurangan suku ke 1 atau dari U[1] sehingga Un[2] = Un+1[1] - Un[1]

U[3] merupakan barisan pengurangan suku ke 2 atau dari U[2] sehingga Un[3] = Un+1[2] - Un[2]

...........................................

U[i] merupakan barisan pengurangan suku ke i atau dari U[i-1] sehingga Un[i] = Un+1[i-1] - Un[i-1]

Pengurangan Suku Barisan Polinom[sunting | sunting sumber]

Dengan mengambil i > 0 dan rumus umum barisan polinom,

U_n = \sum\limits_{k=0}^{i}a_k n^k

maka Pengurangan Suku Barisan tersebut adalah

 U_{n+1} - U_n = \sum\limits_{k=0}^{i}a_k (n+1)^k -  \sum\limits_{k=0}^{i}a_k (n)^k

dengan menggunakan konsep sigma, kombinasi, dan binomial [3] diperoleh,

 U_{n+1} - U_n = \sum\limits_{k=0}^{i-1}a_k \sum\limits_{m=0}^{k-1} C^k_mn^m +  a_i\sum\limits_{m=0}^{i-1}C^i_m n^m

Barisan Pengurangan Suku Barisan Polinom[sunting | sunting sumber]

Dengan melihat persamaan terakhir pada pengurangan suku polinom tampak bahwa U[1] mempunyai rumus umum sebagai berikut:

 U^{[1]}_n = \sum\limits_{k=0}^{i-1}a_k \sum\limits_{m=0}^{k-1} C^k_mn^m +  a_i\sum\limits_{m=0}^{i-1}C^i_m n^m

Tampak jelas bahwa barisan selisih suku pertama tersebut berupa barisan polinom. Derajat fungsi polinom dapat dilihat pada bagian

a_i\sum\limits_{m=0}^{i-1}C^i_m n^m

yaitu saat m = i-1 dan memberikan komponen polinom

 a_i C^i_{i-1} n^{i-1} = a_i i n^{i-1}

berarti derajat fungsi polinom yang menyusun U[1] adalah i-1 atau turun satu dari derajat fungsi polinom penyusun U. Koefisien suku fungsi polinom yang berpangkat i-1 dari penyusun U[1] ternyata adalah koefisien suku fungsi polinom komponen yang berpangkat i dari penyusun U dikalikan derajat fungsi penyusun U atau sama dengan aii

Keistimewaan Barisan Polinom[sunting | sunting sumber]

Pada akhir penggalian keistimewaan barisan polinom dapat dengan mudah kita simpulkan adanya beberapa keistimawaan barisan polinom [4] tersebut yaitu:

  1. Barisan selisih suku ke derajad polinom yang dibentuk akan berupa barisan konstanta.
  2. Besar konstanta adalah ai!, dengan a koefisien suku yang berpangkat tertinggi dari fungsi yang membentuk barisan, dan i merupakan derajat fungsi polinom tersebut.

Notasi i! artinya faktorial dari i.

Algoritma Menentukan Kemungkinan Rumus Umum Sebuah Barisan[sunting | sunting sumber]

Keistimewaan tersebut cukup membantu dalam mencari kemungkinan dari bentuk umum sebuah barisan yang diketahui beberapa suku pertamanya. Langkah-langkah untuk mencari kemungkinan bentuk umum barisan tersebut salah satunya adalah:

  1. Jika barisan tersebut (anggap barisan utama) adalah barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta maka lanjutkan ke langkah terakhir.
  2. Buat barisan selisih suku terus menerus sampai menghasilkan barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta.
  3. Hitung jumlah barisan selisih suku (misal ada q barisan), dan salah satu suku konstanta yang dihasilkan adalah p, maka dimungkinkan barisan utama tersebut mengandung komponen polinom :   \frac{p}{q!} n^q .
  4. Hapus komponen polinom yang diperoleh dari langkah ke 3 dari barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama dengan nilai masing-masing suku komponen polinom yang diperoleh di langkah 3. Kemudian ulangi dari langkah 1 dengan barisan utama yang baru (setelah dihilangkan komponen polinom yang diperoleh dari langkah 3).
  5. Kemungkinan rumus umum barisan yang kita cari adalah jumlah semua komponen yang diperoleh di langkah ke 3 ditambah salah satu suku barisan konstanta paling akhir (barisan utama baru terakhir).

Contoh Penggunaan Algoritma[sunting | sunting sumber]

Misalkan kita mencoba mencari salah satu kemungkinan rumus umum dari barisan bilangan 0, 0, 0, 6, ...

  • 0, 0, 0, 6, .... bukan barisan konstanta maka,

0-0,0-0,6-0, ... atau 0, 0, 6, .... barisan selisih suku ke 1

0-0,6-0, ... atau 0, 6, ... barisan selisih ke 2

6-0, ... atau 6 ... barisan selisih ke 3 kita anggap barisan konstanta

  • ada 3 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung komponen   \frac{6}{3!} n^3 = n^3 .
  • Barisan n3 adalah 1, 8, 27, 64, ... kita hilangkan dari 0, 0, 0, 6, ... akan menghasilkan barisan 0-1,0-8,0-27,6-64,... atau -1, -8, -27, -58, ...
  • -1, -8, -27, -58, ... bukan barisan konstanta maka,

-8+1,-27+8,-58+27, ... atau -7, -19, -31, .... barisan selisih suku ke 1

-19+7,-31+19, ... atau -12, -12, ... barisan selisih ke 2 berupa barisan konstanta

  • ada 2 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung komponen   \frac{-12}{2!} n^2  = -6n^2.
  • Barisan -6n2 adalah -6, -24, -54, -96, ... hilangkan dari -1, -8, -27, -58, ... hasilnya -1+6,-8+24,-27+54,-58+96,... atau 5, 16, 27, 38, ...
  • 5, 16, 27, 38, .... bukan barisan konstanta maka,

16-5,27-16,38-27, ... atau 11, 11, 11, .... barisan selisih suku ke 1 berupa barisan konstanta

  • ada 1 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung komponen   \frac{11}{1!} n  = 11n.
  • Barisan 11n adalah 11, 22, 33, 44, ... hilangkan dari 5, 16, 27, 38, ... hasilnya barisan 5-11,16-22,27-33,38-44,... atau -6, -6, -6, -6, ...
  • -6, -6, -6, -6, .... adalah barisan konstanta.

Kemungkinan rumus umum barisan 0, 0, 0, 6, ... adalah Un = n3 - 6n2 + 11n - 6

Manfaat Algoritma[sunting | sunting sumber]

Dalam kehidupan seringkali kita berusaha melihat keteraturan menjadi jelas dan dapat diprediksi. Data keteraturan yang dapat dinyatakan dengan bilangan dalam interval yang sama dengan kurun waktu tertentu akan membentuk sebuah barisan.

Barisan tersebut selalu mempunyai multi penafsiran untuk data-data yang belum terlampaui. Untuk menentukan kemungkinan pola keteraturan data tersebut sebagai alternatif prediksi dapat digunakan algoritme di atas.

Melalui algoritma ini dapat dengan banyak cara untuk mencari kemungkinan aturan suku suatu barisan, diantaranya

Menambah pada beberapa suku berikutnya[sunting | sunting sumber]

Misalnya ada barisan bilangan 2, 4, 6, .... maka kita dapat menentukan kemungkinan rumus umum barisan dengan tiga suku tersebut menggunakan algoritma.

Untuk mendapatkan kemungkinan yang lain kita dapat menambahkan beberapa suku berikutnya menggunakan bilangan yang kita kehendaki, misalnya untuk barisan tersebut dapat kita jadikan 2, 4, 6, 10, .... atau 2, 4, 6, 4, 2, .... dan masih banyak lagi.

Menyisipkan bentuk rumus umum yang diharapkan[sunting | sunting sumber]

Metode ini memungkinkan kita menyisipkan sembarang suku yang kita kehendaki.

Misal pada barisan bilangan 2, 4, 6, ..., jika kita menghendaki pada rumus umumnya terdapat suku n.sin(90n0) mak kita dapat mengambil bagian tersebut dari barisan 2, 4, 6, ..., sehingga muncul barisan 2-1.sin(900), 4-2.sin(1800), 6-3.sin(2700), .... atau barisan bilangan 1, 4, 3, .....

Barisan 1, 4, 3, ... kita cari kemungkinannya menggunakan algoritma dan hasilnya dijumlahkan dengan n.sin(90n0).

Memecah masing-masing suku dengan aturan yang dikehendaki[sunting | sunting sumber]

Metode ini memecah masing masing suku dengan aturan yang sama, kemudian masing-masing pecahan suku kita buat barisan yang hasilnya kita gabung sesuai aturan pemecahan yang telah kita gunakan.

Misal 2, 4, 6, .... dapat kita pecah menjadi 1x2, 2x2, 2x3, ... sehingga muncul dua barisan yaitu 1, 2, 2, ... dan 2, 2, 3, .... Jika barisan pertama mempunyai rumus Un1 dan barisan kedua memunyai rumus Un2 maka rumus barisan 2, 4, 6, ... kemungkinan adalah Un = Un1.Un2

Mengembangkan Algoritma[sunting | sunting sumber]

Keistimewaan yang telah ditunjukkan barisan polinom yang selalu memberikan barisan selisih suku ke derajatnya berupa barisan konstanta maka barisan selisih suku berikutnya adalah barisan 0 (nol).

Mengacu pada pengertian tersebut maka dengan meneliti perilaku barisan selisih suku disaat tanpa barisan polinom, kemungkinan akan mendapatkan keteraturan, sehingga memungkinkan membentukan algoritma berlandaskan keteraturan tersebut.

Dalam makalah seminar Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom terdapat contoh algoritma untuk menyertakan sebuah suku eksponen dalam barisan polinom sebagai berikut:

  1. Jika barisan tersebut (anggap barisan utama) adalah barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta maka lanjutkan ke langkah terakhir.
  2. Buat barisan selisih suku terus menerus sampai menghasilkan barisan dengan rasio sukunya sama atau rasio sukunya dapat dianggap sama.
  3. Hitung jumlah barisan selisih suku (misal ada q barisan), dan nilai suku awal barisan selisih paling akhir adalah p, maka dimungkinkan barisan utama tersebut mengandung komponen suku eksponen :   \frac{p}{{(r-1)}^q} r^{n-1}
  4. Hapus komponen eksponen yang diperoleh dari langkah ke 3 dari barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama dengan nilai masing-masing suku komponen polinom yang diperoleh di langkah 3.
  5. Jika barisan tersebut (anggap barisan utama) adalah barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta maka lanjutkan ke langkah terakhir.
  6. Buat barisan selisih suku terus menerus sampai menghasilkan barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta.
  7. Hitung jumlah barisan selisih suku (misal ada q barisan), dan salah satu suku konstanta yang dihasilkan adalah p, maka dimungkinkan barisan utama tersebut mengandung komponen polinom :   \frac{p}{q!} n^q .
  8. Hapus komponen polinom yang diperoleh dari langkah ke 7 dari barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama dengan nilai masing-masing suku komponen polinom yang diperoleh di langkah 7. Kemudian ulangi dari langkah 5 dengan barisan utama yang baru (setelah dihilangkan komponen polinom yang diperoleh dari langkah 7).
  9. Kemungkinan rumus umum barisan yang kita cari adalah jumlah semua komponen yang diperoleh di langkah ke 3 , dan 7, serta ditambah salah satu suku barisan konstanta paling akhir (barisan utama baru terakhir).

Misalnya kita mencari kemungkinan rumus umum barisan 2, 7, 24, 77, 238, ...

  • 2, 7, 24, 77, 238, .... bukan barisan konstanta maka,

7-2,24-7,77-24,238-77, ... atau 5, 17, 53, 161, .... barisan selisih suku ke 1

17-5,53-17,161-53, ... atau 12, 36, 108, ... barisan selisih ke 2 kita anggap barisan mempunyai :   r = \frac{36}{12} = \frac{108}{36} = 3

  • ada 2 barisan selisih suku dengan rasio 3 maka kemungkinan mengandung komponen   \frac{12}{{(3-1)}^2} 3^{n-1} = 3^n .
  • Barisan 3n adalah 3, 9, 27, 81, 243, ... kita hilangkan dari 2, 7, 24, 77, 238 ... akan menghasilkan barisan 2-3,7-9,24-27,238-234,... atau -1, -2, -3, -4, ...
  • -1, -2, -3, -4, .... bukan barisan konstanta maka,

-2+1,-3+2,-4+3, ... atau -1, -1, -1, .... barisan selisih suku ke 1 berupa barisan konstanta

  • ada 1 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung komponen   \frac{-1}{1!} n  = -n.
  • Barisan -n adalah -1, -2, -3, -4, ... hilangkan dari -1, -2, -3, -4, ... hasilnya barisan -1+1,-2+2-3+3,-4+4,... atau 0, 0, 0, 0, ...
  • 0, 0, 0, 0, .... adalah barisan konstanta.

Kemungkinan rumus umum barisan 2, 7, 24, 77, 238, ... adalah   U_n = \frac{12}{{(3-1)}^2} 3^{n-1} = 3^n - n.

Melihat contoh di atas maka persoalan Deret aritmatika dan Deret ukur atau Deret Geometri memungkinkan juga dapat diselesikan menggunakan algoritma terakhir.

Referensi[sunting | sunting sumber]