Bagian riil dan imajiner

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Ilustrasi pada bidang kompleks. Bagian riil dari bilangan kompleks z = x + iy adalah x, dan bagian imajinernya adalah y.

Dalam matematika, jika diketahui bilangan kompleks z = x + iy (yang mana i adalah bilangan imajiner sedang x dan y adalah bilangan riil) maka x disebut bagian riil dan y disebut bagian imajiner dari z.[1]

Bagian riil dari bilangan kompleks z ditulis Re(z) atau (z) dan bagian imajiner ditulis Im(z) atau (z), dan adalah huruf kapital R dan I dalam huruf gothic. Penulisan tanpa tanda kurung dapat pula digunakan, Re z atau z dan Im z atau z, selama tidak ada ambiguitas dalam pembacaan.

Untuk bilangan kompleks dalam bentuk polar, z = (r, \theta ), koordinat kartesiannya adalah z = (r \cos\theta, r \sin\theta), atau z = r (\cos \theta + i \sin \theta). Hal ini sesuai dengan rumus Euler yang menyatakan z = r e^{i\theta}, jadi bagian riil dari r e^{i\theta} adalah r \cos\theta dan bagian imajinernya adalah r \sin\theta.

Untuk konjugasi bilangan kompleks \bar{z}, bagian riil dari z sama dengan z+\bar z\over2, dan bagian imajinernya sama dengan \frac{z-\bar{z}}{2i}.

Kegunaan[sunting | sunting sumber]

Perhitungan fungsi periodik dalam bilangan riil, seperti misalnya grafik arus bolak-balik atau medan elektromagnetik, sebenarnya merupakan penyederhanaan perhitungan bilangan kompleks dengan hanya memperhatikan bagian riil-nya saja.

Dalam bidang kelistrikan, jika tegangan gelombang sinus diberi beban linear (yaitu beban yang nantinya jika tegangannya sinus maka arus yang mengalir berupa gelombang sinus juga), arus listrik I yang mengalir dalam kabel dapat ditulis sebagai bilangan kompleks I = x + jy (dalam ilmu kelistrikan sering digunakan j sebagai bilangan imajiner karena lambang i biasa digunakan untuk arus listrik). Dalam notasi bilangan kompleks tersebut x adalah "arus sebenarnya" (arus yang timbul ketika ada tegangan) sedang y adalah "arus imajiner" (arus ketika tidak ada tegangan listrik).

Dalam trigonometri, perhitungan sering menjadi lebih mudah dengan memandang fungsi periodik dalam bidang kompleks.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). College Algebra and Trigonometry (ed. 6). Cengage Learning. hlm. 66. ISBN 0618825150. , Chapter P, p. 66
  • Conway, John B., Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 2 edition (September 12, 2005). ISBN 0-387-90328-3.